אודיסאת איינשטיין ליחסות הכללית Einstein’s Odyssey to General Relativity

מאמר שלי על דרכו של איינשטיין לתורת היחסות הכללית: אודיסאת איינשטיין ליחסות הכללית

סיינטיפיק אמריקן ישראל

“Einstein’s Odyssey to General Relativity”, Scientific American Israel

את המונח “אודיסאה” ליחסות הכללית טבע פרופ’ ג’ון סטצ’ל מאוניברסיטת בוסטון והוא מייצג את המסע המפרך של איינשטיין בדרכו ליחסות הכללית. ראו המאמר של סטצ’ל למטה

Odyssey to general relativity is John Stachel’s memorable phraseology. See:

Stachel, John (1979). “Einstein’s Odyssey: His Journey from Special to General Relativity”. In Einstein from B to Z, 2002.

I am sorry but this piece is in Hebrew. You can read my book General Relativity Conflict and Rivalries, my papers on Einstein and general relativity and a short summary below.

Picture1

מפייסבוק: מארחים את ד”ר גלי וינשטיין לדבר על איינשטיין

SF1

My drawing of Einstein:      האיור שלי של איינשטיין

איינשטיין צעיר

And the original (I tried as hard as I could to draw a young Einstein…):       המקור

תמונה1

The article discusses the following topics:

1907. The Happiest thought of my life.

3

1907-1911. The equivalence principle and elevator experiments.

4

1911. Deflection of light and explaining deflection of light using an elevator thought experiment.

5

1911-1912 (1916). The disk thought experiment, gravitational time dilation and gravitational redshift.

6

1912. The disk thought experiment and non-Euclidean geometry.

7

1912. Einstein to Marcel Grossmann: “Grossmann, you must help me or else I’ll go crazy!”. Grossmann searched the literature, and brought the works of Bernhard Riemann, Gregorio Curbastro-Ricci, Tullio Levi-Civita and Elwin Bruno Christoffel to Einstein’s attention. With Grossmann’s help Einstein searched for gravitational field equations for the metric tensor in the Zurich Notebook.

8

1913-1914. The Entwurf theory. In 1913, Einstein and Michele Besso both tried to solve the new Entwurf field equations to find the perihelion advance of Mercury.

2October 1915. Einstein realizes there are problems with his 1914 Entwurf theory. November 1915. Einstein’s competition with David Hilbert.

1

November 1915. Four ground-breaking papers: Einstein presents the field equations of general relativity, finds the advance of the perihelion of Mercury and predicts that a ray of light passing near the Sun would undergo a deflection of amount 1.7 arc seconds.

Advertisements

האוניברסיטה העברית מעניקה פרס לפרופסור חנוך גוטפרוינד שעשה לי פלגיאט

האוניברסיטה העברית החליטה להעניק לפרופסור חנוך גוטפרוינד את פרס שמואל רוטברג. אני שואלת: האם פרופסור חנוך גוטפרוינד מקבל את הפרס על זה שהוא עשה לי פלגיאט למאמרים ולספר שלי על אלברט איינשטיין ותורת היחסות הפרטית והכללית בהרצאה שהוא נתן בכנס בברלין ב-2015? האם הוא מקבל את הפרס על זה שהוא סילק אותי מכנסי איינשטיין והתעלל בי? אספר לכם את הסיפור כהלכתו: האוניברסיטה העברית וארכיון איינשטיין בראשות פרופסור חנוך גוטפרוינד ארגנו בינואר 2015 כנס בינלאומי לרגל מאה שנה לתורת היחסות הכללית של אלברט איינשטיין. זהו בדיוק תחום ההתמחות שלי, אלברט איינשטיין ותורת היחסות הפרטית והכללית. כתבתי בנושא זה שני ספרים שנרכשו על ידי אוניברסיטאות מובילות בעולם, כתבתי מאמרים רבים על אלברט איינשטיין ותורת היחסות הפרטית והכללית, מאמרים שהתפרסמו בכל העולם. מן הראוי שכבוגרת האוניברסיטה העברית אוזמן להרצות בכנס. אבל “למרבה הפלא” מארגני הכנס, פרופסור חנוך גוטפרוינד (מהאוניברסיטה העברית), פרופסור ימימה בן מנחם (מהאוניברסיטה העברית) ופרופסור דיאנה בוכוולד (מפרויקט איינשטיין), שיבצו במקומי מרצים, שתחום התמחותם כלל אינו איינשטיין ותורת היחסות הפרטית והכללית, מרצים שלא מבינים כלום באיינשטיין ובתורת היחסות וגמגמו וקשקשו שטויות וטעויות בהרצאה שלהם וכל זה בפני קהל מדענים שכלל כמה מומחים בעלי שם מהעולם בתחום תורת היחסות הכללית, הוי לאותה בושה! הנה ההודעה על הכנס

einst2

כמה חודשים אחר כך בחודש דצמבר 2015 יצא המרצע מן השק: נערך בברלין במכון מקס פלאנק כנס בינלאומי לרגל 100 שנה לתורת היחסות הכללית של איינשטיין. כמובן פניתי וביקשתי להרצות בכנס אבל לא הוזמנתי להרצות. הנה ההודעה על הכנס

conference Berlin

וכך כשאני יושבת בבית צפיתי בהרצאות הכנס שהועלו לאינטרנט. והנה בהרצאת הפתיחה בארוחת הערב החגיגית קיבל פרופ’ חנוך גוטפרוינד את כבוד מתן ההרצאה הראשונה. פרופ’ חנוך גוטפרוינד הרצה על: “מאה שנים לתורת היחסות הכללית – מה אנו חוגגים?”. וראו איזה פלא, פרופ’ חנוך גוטפרוינד, נשיא האוניברסיטה העברית לשעבר, מרצה רעיונות מתוך המאמרים והספר שלי, מבלי להזכיר את שמי. בדיון בשולחן עגול פרופ’ חנוך גוטפרוינד אפילו ציטט מבלי להרגיש טעות אחת שנפלה במאמר שלי ובספר שלי. אם כך יש סיבה לכל דבר: סולקתי מכנסי איינשטיין כדי שלא אפריע לפלגיאט והוא, שכנראה לא היה מודע לנפלאות האינטרנט, חשף את הגניבה. בסוף ההרצאה זכה פרופ’ חנוך גוטפרוינד למחיאות כפיים סוערות. אודה על האמת מאוד נהניתי ממחיאות הכפיים הסוערות. ועל כך רבותי מוענק פרס שמואל רוטברג לפרופ’ חנוך גוטפרוינד

נכתב The Road to Relativity בספר של פרופ’ חנוך גוטפרוינד

cosmo

הערה מספר 4 מציינת את המקורות הביבליוגרפיים. כמובן שהשם שלי והמאמר שלי לא נמצאים שם למרות שמה שכתוב למעלה לקוח ממאמר שכתבתי ב-2013 כפי שתראו מיד. אז למה לא להוסיף גם את השם שלי ואת המאמר שלי להערה מספר 4? כי זה לא מכובד להוסיף את השם שלי אז פשוט גונבים ממני

notes

תשוו את זה לקטעים מהמאמר שלי שנכתב שנתיים קודם לכן

George Gamow and Albert Einstein: Did Einstein say the cosmological constant was the “biggest blunder” he ever made in his life?”, ArXiv: 1310.1033v [physics.histph], 03 Oct, 2013.

gamow2

gamow

blunder1

blunder2

אני קבלתי את ההודעה הבאה

gate

חמישים אנשים קראו את המאמר שלי אבל לא ציטטו אותו. לעומת זאת ציטטו את הספר של פרופ’ חנוך גוטפרוינד בדיוק בקטע שמדבר על ג’ורג’ גמוב ואלברט איינשטיין במאמר הבא

Allen I. Janis writes in his review: “The Road to Relativity: The History and Meaning of Einstein’s ‘The Foundation of General Relativity’.” American Journal of Physics 84, 2016:

cite

Gamow

הסילקת וגם ירשת מהכנס לרגל מאה שנה לתורת היחסות בברלין

 מכון מקס פלנק להיסטוריה של המדע בברלין העלה לרשת את ההרצאות והדיונים מהכנס הבינלאומי לרגל מאה שנה לתורת היחסות הכללית

conference Berlin

איינשטיין מביט עלינו כאן בתמונה ודומה שהוא לא כל כך מרוצה מבני השבט שלו, כי לא הוזמנתי להרצות בכנס הגדול והחשוב הזה בברלין וגם בכנסי איינשטיין חשובים אחרים. בדרך כלל הגיוני לחשוב, שאם אתם מפרסמים מאמרים וספרים שנקראים על ידי אנשים רבים, מן הסתם ירצו להזמין אתכם להציג את העבודה שלכם בכנסים. שהרי איך בכל זאת תדעו אם כתבתם משהו גדול? מובן מאיליו, אם יזמינו אתכם להרצות בכנס ויצטטו את העבודות שלכם. אההה, לא ולא. בלי שום ספק כדאי שתכירו כלל אצבע חשוב באקדמיה: אם כתבתם מאמר באמת מקורי, או אז לא יזמינו אתכם להציג את עבודתכם בכנסים! במקום זאת, פרופסור חשוב יציג את העבודה שלכם במקומכם ויעשה זאת כאילו העבודה שלכם היא לגמרי שלו. דבר זה קרוי בעברית “פלגיאריזם”. ככה הבעיה באה על פתרונה בשיטת הפשרה הידועה: “הקטנים” נשארים תמיד בבית ולא מוזמנים לכנסים החשובים ואילו עבודתם נוסעת לכנסים מפוארים בכל קצוות תבל ונגנבת. וכך הכל הולך למישרין. פרופסור חנוך גוטפרוינד מהאוניברסיטה העברית נתן את ההרצאה הראשית בכנס בברלין ובהרצאתו “מאה שנים לתורת היחסות הכללית – מה אנו חוגגים?” הוא השתמש בקטעים מהעבודה שלי. ובכן, מה אנו באמת חוגגים? אנו חוגגים את גניבת עבודתה של ד”ר גלי וינשטיין. תודה על כך שרוח מאמריי שרתה בהרצאה הראשית של הכנס. אני חייבת לומר שעונג רב הוא לי. בלי ספק פרופ’ גוטפרוינד פשוט סיכם כמה קטעים מרכזיים מהעבודה שלי מבלי להזכיר את שמי והקהל של הפיסיקאים וההיסטוריונים והפילוסופים של הפיסיקה התענג מהרעיונות שלי ומחה כף, בייחוד הפרופסורים המכובדים שישבו במקומות הקרובים והיקרים באולם. היו שם כל המי ומי. זוכי פרס נובל ופרופסורים מפורסמים

אקדים ואודה שאני כותבת את הפוסט הזה, כי כבר כל כך נמאס לי מהמצב! וכדי לאזן את התמונה אומר שזו גם לא הפעם הראשונה שזה קורה. בקיץ היה כנס באוניברסיטה העברית, אליו הוזמנו 15 זוכי פרס נובל מהארץ ומהעולם

פואנקרה5

בפאנל בשם “רגע יוריקה!” פרופ’ גוטפרוינד ישב יחד עם שלושה זוכי פרס נובל ודיווח על דברים שקרא בספר הראשון שלי, שעוסק באיינשטיין ובדרכו לתורת היחסות הפרטית, מבלי להזכיר את שמי. הוא סיפר על מקס ורטהיימר שראיין את איינשטיין, והוא שרבב גם את שמו של הנרי פואנקרה, הוא דיבר על היצירתיות של פואנקרה ושל איינשטיין. הוא סיפר את הסיפור על פואנקרה, שלא הצליח למצוא פתרון לבעייתו המתמטית. פואנקרה יצא לטיול ואירועי הטיול גרמו לו לשכוח מעבודתו. הוא נכנס לאוטובוס וברגע שהוא שם את רגלו על המדרגה, יוריקה הפתרון לפתע הופיע לו, ללא כל הכנה מוקדמת (ראו פירוט בגרסה האנגלית לפוסט הזה). סליחה, אני כתבתי על זה בספר שלי! התואיל בטובך להסביר לקהל שמדובר בשילוב מיוחד ומקורי שביצעתי בספר שלי? לא, לא מאוחר מידי, הקהל כבר התפזר מזמן. ובינתיים אבירי המוסר והאתיקה מהיסטוריה ופילוסופיה של המדעים בשתיקתם מאפשרים פלגיאריזם בתחום. פקעה סבלנותי כי הסילקת וגם ירשת? למטה אשווה בין קטעים מההרצאה של פרופ’ גוטפרוינד בכנס לרגל מאה שנה לתורת היחסות הכללית בברלין לקטעים מהמאמרים שלי. ראו את הגרסה האנגלית לפוסט הזה להשוואה מלאה ולדיון בהרצאה

ג2

בהרצאתו בכנס בברלין, “מאה שנים לתורת היחסות הכללית – מה אנו חוגגים?” פרופ’ חנוך גוטפרוינד תאר את הטעויות של איינשטיין ואמר על איינשטיין: “דבר נוסף שהוא יכל לעשות, ובכן הוא כבר הכיר את פתרון שוורצשילד, בגלל שהתכתבות שוורצשילד הייתה בדצמבר. הוא כתב את המאמר [מאמר הסקירה שלו מ-1916] מאוחר יותר. הוא מסר אותו לפרסום רק במרץ. ולכן הוא יכל להשתמש בפתרון שוורצשילד הזה שהדגים דריבציה פשוטה יותר של תנועת הפריהליון והתעקמות האור והוא לא עשה זאת”. ואז הוא עבר לדבר על משהו אחר

ג3

שוורצ-מה? קרל שוורצשילד עליו כתבתי מאמר שנה לפני שפרופסור גוטפרוינד הרצה בכנס מאה שנים לתורת היחסות הכללית בברלין! תיארתי במאמרי “איינשטיין, שוורצשילד, הפריהליון של תנועת מרקורי וסיפור הדסקה המסתובבת” מ-2014 את הממצאים שלי

אבסטרקט: “ב-18 בנובמבר, 1915 איינשטיין דיווח לאקדמיה הפרוסית שתנועת הפריהליון של מרקורי מוסברת על ידי תורת היחסות הכללית: איינשטיין גילה פתרונות מקורבים למשוואות השדה שלו מה-11 בנובמבר, 1915. לא ניתן לפתור את משוואות השדה של איינשטיין במקרה הכללי, אבל ניתן לפתור אותן במקרים מסוימים. הראשון להציע פתרון מדויק כזה היה קרל שוורצשילד. שוורצשילד הציע אלמנט קווי אחד, שסיפק גם את התנאים של איינשטיין על השדה הכבידתי של השמש וגם את משוואות השדה שלו ממאמרו מה-18 בנובמבר, 1915. ב-22 בדצמבר, 1915 שוורצשילד אמר לאיינשטיין שהוא ביצע מחדש את החישוב שלו ממאמר הפריהליון של מרקורי מה-18 בנובמבר, 1915. כתוצאה שוורצשילד שלח לאיינשטיין כתב יד, שבו הוא קיבל את הפתרון המדויק למשוואות השדה של איינשטיין. ב-13 בינואר, 1916, איינשטיין דיווח על המאמר של שוורצשילד בפני האקדמיה הפרוסית למדעים וחודש אחר כך, המאמר פורסם. במרץ 1916, איינשטיין מסר לפרסום לאנאלן דר פיזיק מאמר סקירה על תורת היחסות הכללית. המאמר פורסם חודשיים אחר כך במאי 1916. מאמר הסקירה נכתב אחרי ששוורצשילד גילה את הפתרון המדויק השלם למשוואות השדה של איינשטיין מה-18 לנובמבר, 1915. איינשטיין העדיף במאמרו מ-1916 לכתוב את הפתרון המקורב שלו מה-18 בנובמבר, 1915 עלפני הפתרון המדויק של שוורצשילד (והסינגולריות של הקואורדינטות שבו)”. עד כאן האבסטרקט

במאמר אני מדגימה שבמאמר הסקירה שלו מ-1916 איינשטיין קיבל את התעקמות האור בשדה כבידה באמצעות הפתרון המקורב שלו מה-18 בנובמבר, 1915 ובעזרת עקרון הויגנס והשתמש באותה נוסחה להתקדמות הפריהליון של מרקורי כמו במאמרו מה-18 בנובמבר, 1915; זאת בעוד שהוא יכל להשתמש בפתרון שוורצשילד שאותו הוא הציג לאקדמיה הפרוסית חודשיים קודם לכן. ואכן בהערה בסוף המאמר מ-1916 איינשטיין הזכיר את המאמר של שוורצשילד, שאותו הוא הציג בפני האקדמיה הפרוסית למדעים

ג1

בהרצאתו פרופ’ גוטפרוינד התמקד בטעויות של איינשטיין. הוא אמר על איינשטיין: “טנזור רימן הוא לא טנזור העקמומיות. אין קשר אפיני. אין טרנספורט מקבילי, כל זה, כל הגיאומטריזציה שהיא הסממן של התורה כולה, ההנחה המוקדמת שהובילה אותו לתוצאות הסופיות. הוא יכל לעשות זאת, אולי בצעד אחר. איך אנו יודעים שהוא יכל לעשות זאת? ב-1914 הוא כתב מאמר סקירה נוסף שהיה מאמר הסקירה של תורת האנטוורף, מאמר ארוך, הוא כתב אותו כאשר הוא היה בטוח שזו הייתה התורה הנכונה ושם הוא מגיע לנקודה שבה הוא צריך להסביר נגזרות קובריאנטיות. הוא מעיר הערה: אני יודע שלוי-צ’יביטה אמר לנו כיצד לעשות זאת בדרך זו, אולם אני מעדיף לעשות זאת באופן שונה, ואופן שונה זה הוא גרוע. אני יכול לומר לכם, אם תביטו בטקסט כיצד זה מבוצע. וכאשר הוא כתב את [מאמר] הסקירה מ-1916, הוא הלך כמעט מילה במילה בעקבות זאת, מלבד אותו הפרק שבו הלגראנג’יאן צריך להופיע, מלבד שם הוא הלך בדיוק בעקבות מה שהוא עשה, ולכן הוא יכל לעשות זאת”. ואחרי הסבר זה פרופ’ גוטפרוינד הסביר על איינשטיין שלא השתמש בפתרון שוורצשילד במאמר הסקירה מ-1916 (ההסבר הקודם למעלה) ויכל גם לעשות זאת

ג6

ההסבר הזה מתחלק לשניים. לגבי החלק השני של ההסבר של פרופ’ גוטפרוינד. במאמר שלי מ-2012, “ממשוואות השדה של ה-‘אנטוורף’ בברלין ועד לטנזור איינשטיין 2: מנובמבר 1915 ועד מרץ 1916” (עמודים 1-2), אני עוסקת במאמר הסקירה של איינשטיין מ-1914 ובהערה שאותה הוסיף איינשטיין מאוחר יותר במאמרו הראשון בתורת היחסות הכללית מנובמבר 1915. ראו הסבר בגרסה האנגלית לפוסט הזה. לגבי החלק הראשון של ההסבר. מדובר ברעיון של פרופ’ ג’ון סטצ’ל. אני תיארתי את הרעיון הזה של פרופ’ סטצ’ל במאמר שלי מ-2012, “מאבקיו של איינשטיין מ1912-1913 עם תורת הכבידה: חשיבות תורת שדות הכבידה הסטטיים”, בעמוד 20: עד 1912 לאיינשטיין לא הייתה הגיאומטריה הרימאנית והחשבון הטנזורי כפי שפותח בתחילת המאה, כלומר על בסיס המושג של הטנזור המטרי; ולאחר 1912 כאשר הוא כבר השתמש באלה, היו חסרים לו כלים מתמטיים יותר מתקדמים (הקשר האפיני); אלה יכלו מאוחר יותר לעכב אותו במשך מספר שנים נוספות. אם נשפוט מנקודת המבט ההיסטורית של זמנו, איינשטיין לא ביצע טעות, בגלל שלא היו ברשותו הכלים המתמטיים הדרושים. למעשה בראייה לאחור הסיפור הוא מורכב יותר. דבר שהיווה לבסוף מקריות עבור איינשטיין מאוחר יותר התברר כתוצאה שמתקבלת באמצעות כלים מתמטיים חדשים, הקשר האפיני, שהומצא אחרי שאיינשטיין הגיע למשוואות השדה הקו-וריאנטיות הכלליות

פרופ’ גוטפרוינד דיבר על מיקלה בסו, חברו הקרוב של איינשטיין, שביקר אותו בציריך ושניהם ניסו למצוא פתרון למשוואות השדה של איינשטיין מ-1913, משוואות ה”אנטוורף”, כדי לפתור את בעיית התקדמות הפריהליון של מרקורי. הוא אמר את הדברים הבאים: “איינשטיין יחד עם חברו המאוד טוב, שבדרך כלל היה לוח התהודה שלו במקרה זה, שותף, במקרה זה כאשר הם עבדו יחד הוא היה לוח התהודה של איינשטיין. הם כתבו… את כתב היד איינשטיין-בסו… ובמסמך זה הם חישבו את תנועת הפריהליון”. והוא הסביר בכלליות את נושא הפריהליון של מרקורי

Besso3

שוב גם כאן דומה שהוא קרא את מאמריי. במאמר שפרסמתי ב-2012 תחת הכותרת, “המתודולוגיה של אלברט איינשטיין” כתבתי: “מאוחר יותר ב-1913 בסו הגיע לציריך והשתתף עם איינשטיין בצורה פעילה בפתרון משוואות הכבידה של איינשטיין-גרוסמן (ה’אנטוורף’). הם שניהם ניסו למצוא פתרונות לבעיה של התקדמות הפריהליון של מרקורי. יתכן שאיינשטיין הצעיר החשיב את בסו ללוח התהודה שלו, אבל האם בסו היה עדיין לוח התהודה של איינשטיין ב-1913?” הסברתי במאמר שלי שב-1913, בסו עדיין תפקד כלוח התהודה של איינשטיין כאשר שניהם עבדו על כתב היד איינשטיין-בסו: “אכן כאשר איינשטיין כתב לבסו סדרת מכתבים בין 1913 ל-1916, ותיאר בפניו צעד אחר צעד את תגליותיו ביחסות הכללית, בסו אכן תפקד שוב כלוח התהודה הישן והמוכר כמו לפני 1905”. פרופ’ ג’ון סטצ’ל היה הראשון להראות שמיקלה בסו תפקד כלוח התהודה של איינשטיין ובעקבות שיחות עם פרופ’ סטצ’ל אני הרחבתי את הרעיונות שלו לרעיונות במאמר שלי ופרופ’ גוטפרוינד שדד את אופן ההצגה המיוחד שלי

בספר שלי, דרכו של איינשטיין לתורת היחסות הפרטית, הקדשתי פרק שלם ל”לוחות התהודה” של איינשטיין. בתת-הפרק שעוסק בתפקיד של מיקלה בסו כלוח התהודה של איינשטיין כתבתי בעמוד 218: “אפילו ב-1913, בסו היה עדיין לוח התהודה של איינשטיין. ביוני 1913, בסו ביקר אצל איינשטיין בציריך והשתתף עם איינשטיין בצורה פעילה בפתרון משוואות הכבידה של ה’אנטוורף’ איינשטיין-גרוסמן. הם שניהם ניסו למצוא פתרונות לבעיה של התקדמות הפריהליון של מרקורי בשדה הסטטי של השמש. עבודתם המשותפת ידועה ככתב היד איינשטיין בסו“. כלומר, בסו היה ונשאר לוח התהודה של איינשטיין

האמת היא שמאוד רציתי להרצות בכנס על איינשטיין על המאמר שלי “המתודולוגיה של איינשטיין” כי חשבתי שאולי הוא מאמר פילוסופי טוב. אבל עכשיו אחרי שפרופ’ חנוך גוטפרוינד הציג חלק ממנו בכנס הבינלאומי הגדול על איינשטיין הוא איבד מהמקוריות שלו

Hilbert2

בהרצאתו פרופ’ גוטפרוינד עסק בהתהוות הקוסמולוגיה. הוא דיבר על המודל של פרידמן והתגובה של איינשטיין למודל של פרידמן

אני אתן קצת רקע: ב-1922 אלכסנדר פרידמן פרסם מודל של יקום מתפשט. איינשטיין שהתעקש שהיקום הוא סטטי בגלל רעיונותיו של ארנסט מאך, ולשם כך הוא אף הוסיף את הקבוע הקוסמולוגי למשוואות השדה שלו ב-1917, סירב לקבל את המודל של פרידמן ולכן הוא לא היה מרוצה מהמודל והגיב מיד בהערה בכתב העת שבו פורסם המודל של פרידמן. איינשטיין חשב שהוא מצא שגיאה בתוצאות של פרידמן, שאם הוא יתקן אותה הפתרון של פרידמן יוביל למודל הסטטי של איינשטיין. פרידמן בתגובה שלח לאיינשטיין את החישובים שלו וביקש ממנו לפרסם תיקון להערה שלו. איינשטיין לבסוף הסכים לתקן את הטעות

 פרופ’ גוטפרוינד הסביר בהרצאתו: “אבל כאן אתם רואים יש לנו את המכתב לעורך, המכתב הזועם. אתם רואים את המשפט האחרון שהוא מחוק. אז אני אומר לכם מהו המשפט האחרון. המשפט האחרון אומר: ‘נובע שמשוואות השדה, מלבד הפתרון הסטטי’; ישנם כאלה פתרונות סטטיים וכולי. אבל אז מה שמחוק הוא ‘אבל בקושי ניתן לשייך משמעות פיסיקאלית אליהם'”. ופרופ’ גוטפרוינד הקרין שקופית שעליה היה כתוב: “נובע שמשוואות השדה, מלבד הפתרון הסטטי, מאפשרות פתרונות דינמיים ספיריים (כלומר, משתנים עם קואורדינאטות הזמן) עבור המבנה המרחבי. הוא הוסיף את המילים: ‘אבל בקושי ניתן לשייך משמעות פיסיקאלית אליהם’, שאותן הוא מחק בטרם הוא שלח את ההערה לעורך.”. עד כאן השקופית

snake3

מדבריו של פרופ’ גוטפרוינד ומהשקופית שלו ניכר שהוא קרא את המאמר שלי מ-2013, “הנחש המיתי שבולע את זנבו: עולם החומר של איינשטיין”. במאמר שלי בעמוד 40 כתבתי: “למעשה, איינשטיין מעט התרשם מהמודלים של פרידמן. בטיוטא של איינשטיין להערה השנייה לצייטשריפט צור פיזיק, שבה הוא נסוג מההתנגדות הקודמת שלו לפתרונות הדינמיים של פרידמן למשוואות השדה, הוא מחק את הקטע האחרון במשפט: ‘בקושי ניתן לשייך משמעות פיסיקאלית אליהם’ בטרם הוא שלח את ההערה לעורך של ה-צייטשריפט צור פיזיק, כך איינשטיין במקור כתב בטיוטא: “נובע שמשוואות השדה, מלבד הפתרון הסטטי, מאפשרות פתרונות דינמיים ספיריים (כלומר, משתנים עם קואורדינאטות הזמן) עבור המבנה המרחבי. הוא הוסיף את המילים: ‘אבל בקושי ניתן לשייך משמעות פיסיקאלית אליהם’. 127“. הערה 127 מתייחסת לקטע ממאמר של פרופ’ ג’ון סטצ’ל מ-1986

דומה שפרופ’ גוטפרוינד לא טרח לדפדף עד לסוף המאמר שלי ולקרוא את הערה 127 שמפנה למאמר של פרופ’ ג’ון סטצ’ל מ-1986. פרופ’ סטצ’ל כתב במאמרו מ-1986 “אדינגטון ואיינשטיין” בעמוד 469: “מאמרו של פרידמן עורר את תשומת לבו של איינשטיין. הוא חשב שהוא מצא טעות בטיעון של פרידמן, והוא אמר זאת בדפוס. כאשר הוא השתכנע שהטעות לא הייתה של פרידמן הוא חזר בו מההתנגדות המתמטית שלו, אבל הוא נצמד למודל הקוסמולוגי הסטטי שלו. ניתן להבחין עד כמה מעט איינשטיין התרשם מהמודלים של פרידמן מהמשפט הסופי בטיוטת החרטה שלו, ש(למזלו שלו) איינשטיין מחק לפני שהיא פורסמה: “נובע שמשוואות השדה, מלבד הפתרון הסטטי, מאפשרות פתרונות דינמיים ספיריים (כלומר, משתנים עם קואורדינאטות הזמן) עבור המבנה המרחבי [שאליהם בקושי ניתן לשייך משמעות פיסיקאלית.]”. החלק בסוגריים נמחק בכתב היד”. כך פרופ’ סטצ’ל

איך יודעים שפרופ’ גוטפרוינד כנראה לא טרח לקרוא את הטקסט המקורי של פרופ’ סטצ’ל? השקופית של ההרצאה של פרופ’ גוטפרוינד כמעט זהה לחלוטין לקטע מהמאמר שלי ושונה למדי מהמאמר של פרופ’ סטצ’ל

גוטפרוינד

השקופית מההרצאה של פרופסור גוטפרוינד

והקטע מהמאמר שלי

snake

איך מגלים גלי כבידה

אי שם זוג בינארי של חורים שחורים הסתובבו במסלול אליפטי והחלו לנוע זה לעבר זה. התדירות הזוויתית הסיבובית שלהם החלה לגדול ולגדול והמרחק ביניהם הלך וקטן. הם הסתובבו זה לעבר זה בעוד הם מעוותים את המרחב-זמן. בתהליך זה הם איבדו אנרגיה ופלטו גלי כבידה שנעו להם על פני מארג היקום במהירות האור. שני החורים השחורים לבסוף הגיעו למצב שבו הם התנגשו זה בזה והפכו לחור שחור אחד ענק. החור השחור הענק הזה איבד עוד ועוד אנרגיה ופלט גלי כבידה בקצב הולך וגובר

למרות שגלי כבידה נוצרים על ידי גופים מאוד מסיביים ביקום, כמו חורים שחורים שמתנגשים זה בזה ומתמזגים, גלי הכבידה עצמם הם תנודות מאוד זעירות בחלל. גלי הכבידה הם בעוצמה כה קטנה שלמעשה הם יגרמו להתמתחות ולכיווץ של המרחב-זמן בסדר גודל של 10 מיליונית מרוחבו של האטום. במצב הזה לגלות אותם זה כמו לחפש מחט בערמת שחת. קיוו מאוד לחפש גלי כבידה בעזרת

LIGO (Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory)

אולם החיפושים העלו חרס. למען האמת היו עדויות עקיפות לקיומם של גלי כבידה מהתנהגות פולסרים, כוכבי נויטרון שמסתחררים במהירות רבה ומשחררים קרני אור. בתצפיות הפולסר מצאו איבוד אנרגיה כתוצאה מקרינת גלי כבידה, מה שזיכה את החוקרים שגילו זאת בפרס נובל ב-1993. אולם גילוי זה היה עקיף מכיוון שהחוקרים לא הצליחו למדוד ממש את גלי הכבידה ולבחון את גלי הכבידה. מכיוון שליגו לא גילה גלי כבידה בנו מכשיר משוכלל יותר שקרוי

Advanced LIGO

מכשיר זה הוא פי שלוש רגיש יותר מקודמו והוא מתוכנן לגלות גלי כבידה בטווח של מיליונית המיליונית…. מרוחבו של האטום

גלי הכבידה נקלטו במכשיר מאוד דומה למכשיר ששימש את מיקלסון ומורלי ב-1887 כדי לגלות האם כדור הארץ נע דרך האתר. מיקלסון ומורלי קיבלו תשובה שלילית אבל לא כך היה עם גלי הכבידה

אולם אותו מכשיר שנקרא האינטרפרומטר של מיקלסון הוביל לפני כמה ימים לתשובה חיובית בנוגע לגלי הכבידה. מאז 1887 עברו שנים רבות ובינתיים הומצא הלייזר ומשתמשים במקום בקרני אור בקרני לייזר באינטרפרומטר של מיקלסון והמכשיר עבר שכלולים רבים. לאחרונה אפילו המכשיר עבר שדרוגים נוספים ובספטמבר האחרון לאחר ששופץ ושוכלל הוא היה מוכן לגילוי גלי הכבידה

מהו האינטרפרומטר שבעזרתו גילו את גלי הכבידה? אור ממקור לייזר שולח שתי אלומות אור למפצל (מראה חצי מעבירה). שתי האלומות מתפצלות לשני כיוונים מאונכים זה לזה. אלומת לייזר אחת נעה במסלול אנכי של האינטרפרומטר והאלומה השנייה נעה לאורך המסלול השני. בקצה כל מסלול ממוקמת מראה מחזירה. אורכו של כל מסלול הוא 4 קילומטר. אבל אנחנו מדברים במונחים אסטרונומיים ומודדים גלי כבידה מגופים שמימיים. לכן 4 קילומטר הוא מרחק קטן מידי. הפתרון לבעיה הזו הוא לגרום לשתי אלומות הלייזר לנוע הלוך ושוב על כל מסלול מספר רב של פעמים בין מראות מחזירות. דבר זה גורם להיווצרות גלים עומדים בתדירות התהודה שלהם. זוהי שיטת הגברה של עוצמת הגלים שבה השתמשו החוקרים בניסוי

מיקלסון

 מכאן

הסבר כאן

Ligo

החוקרים מתארים במאמר שלהם שיטות שנועדו להתגבר על ההפרעות והרעשים שקשורים בפוטונים וככה להעלות את הרגישות של המכשיר על מנת לגלות את גלי הכבידה. אחת השיטות היא “שחזור אנרגיה”. החוקרים מקמו מראה משחזרת במסלול קרן הלייזר, שנועדה להחזיר את קרן הלייזר וליצור גלים עומדים בתדירות התהודה שלהם וככה להגביר את עוצמת הגלים

אחרי שכל קרן לייזר נעה מספר רב של פעמים על כל מסלול, שתי הקרניים מכל מסלול משתלבות יחד מחדש במפצל ומשם מגיעות לגלאי

אם לא עוברים באינטרפרומטר גלי כבידה, לאלומת האור לוקח זמן זהה לנוע הלוך ושוב לאורך שני המסלולים ואין הפרש פאזה בין שתי האלומות והן משתלבות יחד לכדי תבנית התאבכות הורסת בגלאי. מדובר בפוטו-גלאי ולכן כתוצאה לא מגלים שום אור בגלאי. במידה וגל כבידה חולף במהלך המסלול של אחת מאלומות האור, זמני המסע עבור קרני הלייזר בשני המסלולים משתנים ואז מתגלה סיגנל אור בגלאי

גלי כבידה הם רוחביים בדיוק כמו גלים אלקטרומגנטיים ולכן הם מתפשטים במאונך למישור שבו הם מתנודדים. גל כבידה שנע בניצב למישור הדף מעוות טבעת של חלקיקים לכדי אליפסה של חלקיקים. האליפסה הזו מוארכת בכיוון אחד בחצי מחזור תנודה של הגל ומוארכת בכיוון המאונך בחצי המחזור השני. ניתן למדוד את העיוות הזה שנגרם מהתנודה של הגל באינטרפרומטר. מסלול קרן האור האופקי יראה ארוך יותר ומסלול קרן האור האנכי יראה קצר יותר, כאשר גלי הכבידה מתרחבים בכיוון האופקי ומתכווצים בכיוון האנכי

gravity

אלומת אור שעוברת דרך גל הכבידה עוברת שינוי באורך הגל. פירושו למשל שאלומת האור הנעה על המסלול האופקי תעבור מסלול ארוך יותר מאשר האלומה האנכית. ככה נקבל הפרש פאזה בין שתי אלומות האור. כאשר בסוף שתי הקרניים האופקית והאנכית ישתלבו ויועברו לגלאי הוא יגלה השפעה של גלי הכבידה

 

 

For the Love of Mozart

אתמול שדרו ב-יס 3 את הסרט אמדאוס מ-1984. שלוש שעות קנאה של אנטוניו סליארי בוולפגנג אמדאוס מוצרט וגאונות של סרט על מוצרט ויצירתו. אין זה משנה האם הסרט הוא מדויק היסטורית, כנראה שיש בסרט אי דיוקים היסטוריים. אבל הסרט הוא אומנות, סרט מרהיב ביופיו והמשחק מעולה. סרט מדהים שלא נס לחו עם מסר אנושי: הקנאה הורסת (ודורסת) את העולם לא פחות מהמלחמות. הכעס של מי שנולד בלי כישרון ורוצה להרוס את המוכשר. הנה סצנת הפתיחה וסצנת הסיום וקצת על מה שביניהן; ובסוף קטע נגינה. אלברט איינשטיין מנגן את מוצרט, המלחין האהוב עליו: גאון מנגן גאון. כמובן שאיינשטיין היה גאון בפיסיקה ולא גאון בנגינה ואת זה ראוי לזכור

Opening scene. Salieri is confessing to the Priest.

Salieri, court composer: “How well are you trained in music?”

Priest: “I know a little. I studied it my youth, here in Vienna”.

Salieri: “You must know this”. (plays on the harpsichord).

Priest: “I can’t say that I do. What is it?”…

Salieri plays a few pieces and…

Priest: “I regret it is not too familiar”.

Salieri: “Then you recall no melody of mine. I was the most famous composer in Europe. I wrote 40 operas alone. Here… What about this one?” (plays on the harpsichord).

Priest: “pam… pam… pam… pam…. pam… yes I know that! Well that’s charming! I’m sorry, I didn’t know you wrote that”.

Salieri: “I didn’t. That was Mozart. Wolfgang Amadeus Mozart.

Salieri: “All I wanted was to sing to God. He gave me that longing… and then made me mute. Why? Tell me that. If he didn’t want me to praise him with music, why implant the desire? Like a lust in my body! And then deny me the talent?” On Mozart: “This was a music I had never heard. Filled with such longing, such unfulfillable longing. It seemed to me that I was hearing the voice of God”. He composed the best yet written opera’s and melodies. But Salieri thought Mozart was saying that he was yet to achieve mediocrity. Salieri: Mozart “showed my mediocrity to all”. As Salieri sat there understanding that he was not even possessing a little of Mozart’s talent, he sought to ruin Mozart through his influence as Austria’s court composer.

Tom-Hulce-and-F-Murray-Ab-001

Mozart kisses Salieri’s hand in thanks for what he thinks his great help.

Ending scene. Salieri is confessing to the Priest.

Salieri: “ha… ha… ha… ha… your merciful god, he destroyed his own beloved rather than let a mediocrity share in the smallest part of his glory. He killed Mozart and kept me alive to torture. 32 years of torture. 32 years of slowly watching myself become extinct. My music going fainter, all the time fainter, till no one plays it at all. And I speak for all mediocrities in the world. I am their champion. I am their patron saint. Ha… ha… ha… mediocrity is everything. I absolve you. I absolve you. I absolve you…”

In the early 1920s, Albert Einstein was expected to speak as guest of honor at a reception. Instead of making a speech, he played the violin. He performed Mozart and Bach and was enthusiastically applauded by an audience that was grateful perhaps not to have to cope with the relativity theory…

Einstein plays Mozart. Mozart was his favorite composer.

 

Einstein’s cosmological constant

The year 2013 is Israel’s “Space Year”. Here

Read my new Paper discussing Einstein’s cosmological model and the cosmological constant:

The Mythical Snake which Swallows its Tail: Einstein’s matter world

In 1917 Einstein introduced into his field equations a cosmological term having the cosmological constant as a coefficient; he invented a finite and spatially closed static universe, bounded in space, according to the idea of inertia having its origin in an interaction between the mass under consideration and all of the other masses in the universe (Mach’s Principle).

In 1931 new experimental findings led Einstein to drop his cosmological constant.

We usually characterize Einstein’s renouncement of the cosmological constant and coming up with new ideas as Einstein’s mistake. Perhaps we rather say that Einstein’s old and new ideas link up with the same good old Mach’s principle that brought him to introduce the cosmological constant.

Later cosmological models of Einstein are either compatible or incompatible with Einstein’s understanding of Mach’s principle.

In 1931 Einstein dropped the cosmological constant and later also dropped Mach’s principle.

ae65

Einstein and Willem de Sitter in 1932

מסיבת התה של הכובען המטורף: הקבוע הקוסמולוגי של איינשטיין

ב-1917 אלברט איינשטיין החליט להוסיף איבר למשוואות השדה של תורת היחסות הכללית שלו. הוא הכניס את האיבר הקוסמולוגי בעל המקדם שקרוי “הקבוע הקוסמולוגי”, כדי שתורת היחסות הכללית תניב יקום סטטי. איינשטיין טען שהאיבר הקוסמולוגי לא ישנה את הקוואריינטיות של משוואות השדה וגם לא את שאר ניבויי התיאוריה.

באותו הזמן תורת היחסות של איינשטיין עדיין לא אומתה ניסויית, אבל איינשטיין היה נחוש בדעתו להשמיט את שאריות המרחב המוחלט שלכאורה אולי נותרו בתורתו. לשם כך הוא המציא “טירה יפיפה שתלוי באוויר”, כפי שאיינשטיין עצמו תאר זאת, עולם סופי וסגור בממדיו המרחביים ובייחוד עולם סטטי. עולם זה תאם לרעיונות של מאך, לפיהם האינרציה מקורה באינטראקציה שבין המסה לשאר המסות ביקום. שנה אחר כך איינשטיין היה כה בטוח ברעיונותיו של מאך עד כי הוא קרא לרעיון זה עקרון מאך.

מבחינה פיזיקאלית, הקבוע הקוסמולוגי בהיותו גדול מאפס פירושו היה הקיום של דחייה קוסמית וכך היקום הסטטי של איינשטיין הוא כזה שבו הדחייה בכל מקום מאזנת את משיכת הכבידה.

והנה ידידו של איינשטיין מלידן, וילהם דה סיטר, הגה פיתרון לאותן משוואות שדה של איינשטיין עם הקבוע הקוסמולוגי, אבל שמניבות יקום ריק לחלוטין. היקום של דה סיטר היה כדורי בממדיו המרחביים, אבל פתוח לאינסוף כאילו היה היפרבולואיד. דה סיטר שמע על עבודתו הניסויית של וסטו סליפר שחקר את המהירויות של 25 ערפיליות ספיראליות (מה שיותר מאוחר כונה גלקסיות). דה סיטר גילה אפקט הסחה לאדום בעולם ההיפרבולואידי שלו.

דה סיטר החליט להשוות בין העולם שלו לעולם של איינשטיין. כדי לעשות זאת הוא ביצע לעולם שלו טרנספורמציה לצורה סטטית, כך שעתה שני העולמות, שלו ושל איינשטיין, היו בעלי עקמומיות חיובית; עולם דה סיטר היה האנלוגיה הארבע-ממדית של העולם התלת-ממדי של איינשטיין. אבל בעולם של דה סיטר הזמן הוא לגמרי יחסי ושווה-ערך במעמדו לשלושת הקואורדינאטות המרחביות ואילו בעולם של איינשטיין הזמן באינסוף היה שונה כאילו היה זה זמן דמוי-מוחלט. לפיכך, המערכת של איינשטיין מספקת את עקרון היחסות רק אם פוסטולט זה תקף לשלושת ממדי המרחב ולא לממד הזמן. מכאן, טען דה-סיטר, איינשטיין השיב במו-ידיו את המרחב המוחלט של ניוטון, אותו חלל מוחלט שהוא כה התאמץ לגרש!

אבל איינשטיין לא השתכנע מהטיעונים של דה סיטר; ולא זאת בלבד, איינשטיין טען שהעולם של דה סיטר מפר את עקרון מאך. איינשטיין ניסה במקום זאת להדגים שהפתרון של דה סיטר מכיל סינגולאריות בדיוק בקו המשווה. במקום הזה שבו מצויה הסינגולאריות מתחבא לו החומר הנעלם ולכן עולם דה סיטר אינו ריק כלל. הטיעון של איינשטיין היה כזה: לפי תורת היחסות הכללית, ככל ששעונים הם קרובים יותר למקור חומרי, כך הם נעים לאט יותר. מכיוון שהשעונים הולכים ומאטים ככל שמתקרבים ל”קו המשווה” בעולם דה סיטר בצורה הסטטית, כל החומר של עולם דה סיטר מרוכז שם בקו המשווה.

ארתור אדינגטון הגדיר זאת בצורה ציורית ב-1920: ביקום דה סיטר “כאשר אנחנו מגיעים למחצית הדרך לנקודה הנגדית, הזמן עומד מלכת. בדיוק כמו מסיבת התה של הכובען המטורף, השעה היא תמיד 6 אחר הצהריים; ושום דבר לא יכול בכלל להתרחש ולא משנה כמה נחכה”.

ולכן איינשטיין הסיק שבפתרון דה סיטר ישנה סינגולאריות אינהרנטית, שהיא חלק מהפיתרון עצמו; ואם כך הדבר, מתחבא לו חומר שם בקו המשווה.

איינשטיין התווכח עם דה סיטר ולא קיבל את עובדת קיום יקומו הריק שסותר את עקרון מאך; ואז נכנס לויכוח המתמטיקאי הדגול פליקס קליין. קליין הסביר לאיינשטיין שקו המשווה בצורה הסטטית של יקום דה סיטר היא תופעת לוואי של הצורה הסטטית. למעשה זו לגמרי מקריות שיקום דה סיטר יכול להיכתב בצורה סטטית. וזו הסיבה שאנחנו אף פעם לא יכולים להגיע לקו המשווה, בגלל שהוא אירוע שנמצא מחוץ להישג ידינו; מערכת הקואורדינאטות שבה העולם של דה סיטר הוא סטטי מכסה רק חלק ממרחב-זמן דה סיטר השלם. לכן הסינגולאריות בקו-המשווה היא סינגולאריות לא אינהרנטית.

איינשטיין בהתחלה התקשה לקבל את הטיעון, אבל בסוף הוא הסכים לקבל שפתרון דה סיטר הוא אכן פתרון למשוואות השדה שלו המתוקנות עם הקבוע הקוסמולוגי, יקום ריק מחומר שמפר את עקרון מאך. אבל הוא עדיין האמין שזהו לא פתרון אפשרי מבחינה פיזיקאלית, אין כזה יקום פיזיקאלי; איינשטיין האמין שכל מודל קוסמולוגי אפשרי צריך להיות סטטי והרי המודל של דה סיטר מבחינה גלובאלית הוא אינו סטטי.

ב-1922 אלכסנדר פרידמן וב-1927 ג’ורג’ למטר פרסמו באופן נפרד זה מזה מודלים דינמיים ליקום. פרידמן גילה מודלים לא-סטטיים מעניינים בעלי קבוע קוסמולוגי שהוא אינו אפס או שווה לאפס. הוא ניבה יקום מתפשט או מתכווץ, שהניב את העולמות של איינשטיין ודה סיטר כמקרה פרטי. המודל של פרידמן עם קבוע קוסמולוגי שווה לאפס היה היקום הפשוט ביותר במסגרת תורת היחסות הפרטית. אבל ב-1922 איינשטיין חשב שהוא מצא טעות בתוצאות של פרידמן, שאם תתוקן, תיתן את היקום הסטטי של איינשטיין. פרידמן שלח לאיינשטיין את החישובים שלו ואיינשטיין השתכנע שהתוצאות של פרידמן אכן נכונות מתמטית, אבל סירב לקבל את הפתרון של פרידמן כמודל פיזיקאלי אפשרי.

ב-1927 למטר פרסם פחות או יותר את אותו המודל כמו זה של פרידמן, כאשר המודל של למטר היה יותר אסטרונומי מאשר המודל המתמטי של פרידמן. אבל כאשר למטר פגש את איינשטיין בכנס סולביי ב-1927, תגובתו של איינשטיין לעבודתו של למטר לא הייתה שונה מתגובתו למודל של פרידמן. איינשטיין היה מוכן לקבל את המתמטיקה אבל לא את הפיזיקה של היקום הדינמי המתפשט.

ב-1929 אדווין האבל הכריז על תגליתו הניסויית לפיה דומה שהיקום למעשה מתפשט. בשנים שאחרי 1930 הנטייה של הקוסמולוגים הייתה לעבור מתמיכה במודלים סטטיים כמתארים את היקום למודלים דינמיים. הגילוי של האבל נחשב לגילוי מרעיש.

ב-1931 איינשטיין ביקר בפסדינה ובהר וילסון והאבל וד”ר אדמס ליוו אותו למצפה כדי שיצפה בשמיים באמצעות הטלסקופ. איינשטיין הביט בגרמי השמיים והתפעם ולא רצה לעזוב את המקום. הוא בחן את התצפיות של האבל ועדויות אחרות שאיששו שאכן היקום מתפשט. איינשטיין שמע מהאבל עצמו אודות התצפיות שלו שהובילו למסקנה שהיקום מתפשט.

בשובו לברלין איינשטיין החליט לנטוש את הקבוע הקוסמולוגי לטובת יקום פרידמן עם הקבוע הקוסמולוגי ששווה לאפס. איינשטיין שב למשוואות השדה שלו מ-1916 ללא הקבוע הקוסמולוגי. איינשטיין פרסם מאמר קצר ב-1931 בו הוא מציג מודל קוסמולוגי עם קבוע קסמולוגי ששווה לאפס. מיד אחר כך דה סיטר הציג מודל קוסמולוגי זהה וב-1932 איינשטיין ודה סיטר חברו יחד וכתבו מאמר משותף שבו הם הציגו את מודל איינשטיין-דה סיטר.

למטר נותר נאמן לקבוע הקוסמולוגי והציע ב-1933 את ההיסטוריה המודרנית הראשונה של העולם. אבל בגלל השפעתו העצומה של איינשטיין שויתר על הקבוע הקוסמולוגי, קוסמולוגים לא שמו לב בהתחלה לרעיונות של למטר.

למטר הניח שהקבוע הקוסמולוגי גדול מאפס. הוא גילה שעבור יקום הומוגני איזוטרופי מתפשט, בזמן אפס בהיסטוריה הייתה סינגולאריות (והרי אנחנו זוכרים שלאיינשטיין הייתה בעיה עם סינגולאריות). בעקבות הסינגולאריות הזו הייתה התפשטות. כאשר בוחרים את הערך של הקבוע הקוסמולוגי בצורה מתאימה, מתחילה התפשטות מואצת, תחת דחייה קוסמית שאחר כך מואטת על ידי כבידה-עצמית מגיעים לכמעט עצירה במצב של יקום איינשטיין סטטי, שהוא בלתי תלוי בזמן. לפי למטר היקום המוקדם מאוד היה אטום קדום, גרעין אטומי קוסמי, כאשר הוא התפרק רדיואקטיבית בצורה ספונטאנית בצורת המפץ הגדול. ולכן היקום המאוד קדום נשלט על ידי חלקיקים בעלי אנרגיה מאוד גבוהה שיצרו יקום קדום הומוגני. למטר הסיק את קיומן של הקרניים הקוסמיות, השריד הקדום ביותר מההתפרקות הזו, חלקיקים אנרגטיים המרכיבים קרינת רקע למודל.

סטודנט של למטר סיפר, שמרבית האסטרונומים בתקופתו חשדו בתורת המפץ הגדול של למטר ובייחוד איינשטיין חשד בה, כי מי שהציע אותה היה כומר קתולי ותמך בה קווייקר [זרם דתי נוצרי] אדוק (ארתור אדינגטון).

אחרי שהוא ויתר על הקבוע הקוסמולוגי, איינשטיין המבוגר גם ויתר על עקרון מאך; וכך הוא נותר בלי קבוע קוסמולוגי, בלי עקמומיות מרחבית ובלי עקרון מאך… ג

איינשטיין ותורת הקוונטים Einstein and the Light Quantum

In 1905 Planck, a coeditor of the Annalen der Physik, accepted Einstein’s paper on light quanta for publication, even though he disliked the idea of “light quanta”. Einstein’s relativity paper was received by the Annalen der Physik at the end of June 1905 and Planck was the first scientist to notice Einstein’s relativity theory and to report favorably on it. In the 1905 relativity paper Einstein used the notion, “light complex”, and he did not invoke his novel quanta of light heuristic with respect to the principle of relativity. He chose the language “light complex” for which no clear definition could be given. But with hindsight, in 1905 Einstein made exactly the right choice not to mix concepts from his quantum paper with those from his relativity paper. He focused on the solution of his relativity problem, whose far-reaching perspectives Planck already sensed. x

In the Electrodynamical part of the Relativity paper Einstein considers the system K. Very far from the origin of K, there is a source of electromagnetic waves. Let part of space containing the origin of coordinates 0 be represented to a sufficient degree of approximation by plane waves. Einstein asks: What characterizes the waves when they are examined by an observer at the same point 0, but at rest in the system k, moving relatively to K with constant speed v? x

Einstein applies the Lorentz transformation and transformation equations for electric and magnetic fields to the equations of the plane electromagnetic wave with respect to K. He obtains the Doppler principle, i.e., the frequency of electromagnetic waves as it appears in the system k and K: f’/f.   x

Einstein then finds the amplitude of the waves as it appears in the system k; the amplitude of the electric or magnetic waves A or A’, respectively, as it is measured in the system K or in the system k. Einstein gives the equation for the square of amplitude, Pointing vector. x

We expect that the ratio of the square of the amplitude of a given light complex “measured in motion” and “measured at rest” would be the energy if the volume of a light complex were the same measured in K and k. However, says Einstein, this is not the case.  x

Einstein thus instead considers a spherical surface of radius R moving with the velocity of light. He is interested in the light energy enclosed by the light surface. No energy passes outside through the surface of the spherical light surface, because the surface and the light wave both travel with the velocity of light. He calculates the amount of energy enclosed by this surface as viewed from the system k, which will be the energy of the light complex relative to the system k. The spherical surface – viewed in the system k – is an ellipsoidal surface. If we call the energy of the light enclosed by this surface E when it is measured in system K, and E’ when measured in system k, we obtain the equation that relates between E and E’.  x

Einstein realizes that, “It is noteworthy that the energy and the frequency of a light complex vary with the observer’s state of motion according to the same law”. x

Namely, E’/E = f’/f.     x

John Stachel read my manuscript and said that this formula corresponds to that of the light quantum hypothesis, and in hindsight this supplies extra evidence for the later hypothesis. Einstein’s aim is to show that the equation E = hv that he uses in the quantum paper takes the same form in any inertial frame. That is, E = hv is transformed to E’ = hv’ and thus the relativity postulate is not violated.  x

I wrote in my manuscript that Rynasiewicz wrote in 2005 (and even before that) that, “Einstein wraps up his derivation with what is clearly an allusion to the light quantum hypothesis”. Rynasiewicz adds that “What he does not draw attention to there is the intimate relation of this result to the relative character of simultaneity”.  x

However, Stachel told me that he was the first to notice that in his relativity paper Einstein implicitly referred to the light quantum hypothesis and he told me to delete Rynasiewicz’s comment. x

Then in light of my manuscript Stachel wrote the following paragraph, which reflects my manuscript, and also the collected papers of Einstein, which he edited

Before submitting his 1905 special relativity paper, Einstein had submitted the light quantum paper – the only one of his 1905 papers he considered truly revolutionary. “On a Heuristic Viewpoint Concerning the Generation and Transformation of Light”, sent to the Annalen on March 17th, 1905, and received by the Annalen a day afterwards. Indeed Einstein wrote Habicht in May 1905 about this paper, “It deals with the radiation and energy characteristics of light and is very revolutionary”.  x

This paper extended the range of application of Planck’s 1900 quantum hypothesis. In order to explain his law of black body radiation, which had been well-verified empirically, Planck was forced to assume that oscillators interacting with the electromagnetic field could only emit and/or absorb energy in discrete units, which he called quanta of energy. The energy of these quanta was proportional to the frequency of the oscillator: E = hv. But Planck believed, in accord with Maxwell’s theory, that the energy of the electromagnetic field itself could change continuously. x

Einstein now showed that, if this formula were extended to the electromagnetic field energy itself, a number of phenomena involving interactions between matter and radiation, otherwise inexplicable classically, could now be simply explained with the help of these light quanta. x

But, he was at work on his relativity paper too; so the question naturally arose, if the equation E = hv holds in one inertial frame of reference, will it hold in all others. If not, then Einstein’s relativity principle would be violated. Since h, the so-called quantum of action, is a universal constant, the question reduces to: Do the energy and frequency of a light quantum transform in the same way in passing from one inertial frame to another. And this is just what he demonstrates in his paper. x

Hence, not wanting to introduce a discussion of his still-quite-speculative light quantum hypothesis into a paper which he regarded as simply an extension of well accepted classical ideas from mechanics to electromagnetism and optics, he confined his proof to the classical level. x

Instead of “light quanta”, in his proof he introduced the rather awkward term “light complex”, a term that he soon dropped. x

In my paper discussing relativity and light quanta I bring both opinions and I also refer to Einstein’s Collected Papers. x

HUJI, Lucien Chavan

paper abstract

פילוסופיה של הפיזיקה – הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן, אפ”ר ותורת היחסות הפרטית

תיאור קוונטי אורתודוקסי של מערכת קשור בשלושה אלמנטים: משייכים למערכת מצב קוונטי (וקטור במרחב הילברט). ההמילטוניאן של המערכת קובע כיצד המצב הזה יתפתח עם הזמן כל עוד לא מבוצעת מדידה על המערכת. לבסוף כאשר מבוצעת מדידה או תצפית על המערכת המצב הקוונטי משתנה בצורה בלתי רציפה וזו משקפת את תוצאת המדידה, מה שקרוי קריסת גל.

כאשר מבצעים מדידות על שני חלקיקים נפרדים ורחוקים זה מזה, אבל החלקיקים הם בקורלציה קוונטית, כלומר במצב של שזירה קוונטית, כמו בניסוי של איינשטיין, פודולסקי ורוזן (ניסוי אפ”ר), מוצאים שהמאפיינים של חלקיק אחד נקבעים על ידי תוצאות המדידה בחלקיק האחר. פירושו שתצפית בצד אחד של הניסוי גורמת לקריסת המצב הקוונטי לערך מוגדר. לאיזה ערך מוגדר? לפי הפירוש האורתודוקסי למכניקת הקוונטים הדבר אינו בשליטתנו. קריסת פונקצית הגל היא תהליך מיידי ובלתי תלוי בהפרדה המרחבית בין שני החלקיקים.

איינשטיין, פודולסקי ורוזן הציעו את ניסוי אפ”ר EPR ב-1935. מהניבויים של מכניקת הקוואנטים ועקרון אי הודאות, ישנן קבוצות מסוימות של משתנים, שאם אחד מהם ידוע בוודאות האחר לחלוטין לא ידוע. בשפה המתמטית של תורת הקוונטים אומרים שאם האופרטורים עבור שני משתנים נצפים אינם קומוטטיביים, רק משתנה אחד מבין שני המשתנים יכול להיות ידוע בדיוק ברגע נתון. אם ניקח את המיקום והתנע כדוגמא. עקרון אי הודאות אומר לנו שאם אנו יודעים את התנע המדויק של המערכת, נניח של חלקיק חופשי, המיקום שלו הוא לגמרי בלתי ידוע. כך שאם התנע של חלקיק ידוע בהסתברות שהיא 1, אנו לא יכולים לדעת בהסתברות 1 את המיקום של אותו חלקיק.

כתוצאה מעיקרון אי הודאות של הייזנברג לא ניתן לקבוע בוודאות כמויות בלתי תואמות. דומה שזה מפר את התנאי המספיק לריאליזם של כמות פיזיקאלית, לפיו ניתן לנבא כמות פיזיקאלית בוודאות מבלי להפריע למערכת – (או המאפיינים המדידים של המערכת הפיסיקאלית קיימים ומוגדרים היטב בנפרד מכל השפעה חיצונית ומהתצפיות). לכן, אם לפי עיקרון אי הוודאות לא ניתן לנבא כמות בוודאות מוחלטת, מכניקת הקוונטים היא לא שלמה. אם לא ניתן לדעת בוודאות בו-זמנית את המיקום והתנע של חלקיק, איינשטיין חשב שמכניקת הקוואנטים היא לא שלמה, שחסר בה משהו, משהו ריאליסטי (משתנים חבויים) שכן יאפשר לנו לדעת אותם בוודאות. אבל אפשר לחשוב שמכניקת הקוואנטים היא לגמרי שלמה ושלא חסר בהסבר שלה כלום. במקרה כזה התוצאה של עיקרון אי הוודאות פשוט אומרת לנו שבעיקרון לא ניתן לקבוע בוודאות ערכים בלתי תואמים בו-זמנית.

אפ”ר החליטו להפריך טענה זו. בעזרת ניסוי אפ”ר איינשטיין שאף להראות שלכמויות קומפלמנטריות (בייחוד מיקום ותנע) יכולים להיות ערכים ריאליסטים, אלמנטים של המציאות, בו-זמניים; ואז המסקנה המתבקשת היא שחסר הסבר במכניקת הקוונטים שיכיל אותם. לפיכך, התיאור שמסופק על ידי פונקצית הגל של המערכת לא יהיה שלם ולא ניתן להסיק שמכניקת הקוונטים היא שלמה.

einstein8

אפ”ר הציעו את הניסוי הבא ב-1935: נניח שיש לנו שתי מערכות A ו-B (שיכולות להיות שני חלקיקים חופשיים), שפונקציות הגל שלהן לא ידועות. אחר כך הן באינטראקציה למשך זמן קצר וניתן לקבוע את פונקצית הגל שנובעת מאינטראקציה זו בעזרת משוואת שרדינגר (השנה היא 1935…). נניח שעכשיו המערכות נעות הרחק זו מזו, כל כך רחוק זו מזו, שהן לא יכולות להיות באינטראקציה יותר זו עם זו בשום דרך שהיא. לפי תורת היחסות הפרטית הן מופרדות בצורה כזו ששום סיגנל אור לא יכול לעבור ממערכת אחת לשנייה. מדידות שמבוצעות רחוק זו מזו לא יכולות להשפיע זו על זו. תנאי זה פירושו שההסתברות למדידה על A היא פונקציה של המשתנים של A בלבד. תנאי זה הוא תנאי הלוקאליות. אבל ניתן להסיק את הערכים של מערכת B רק מקריסת פונקצית הגל. בזמן המדידה שתי המערכות הן לא באינטראקציה יותר. לכן הגיוני להניח, כך מסיק איינשטיין, שאם שני החלקיקים A ו-B היו קודם לכן באינטראקציה ואילו עתה הם מופרדים, התוצאות של המדידות על A לא צריכות להשפיע על B בשום דרך שהיא. תנאי זה פירושו שניתן להפריד את ההסתברויות עבור המדידות שמבוצעות על A ועל B (ההסתברויות עבור המדידות של A ו-B הן שתי פונקציות נפרדות ובלתי תלויות זו בזו). זהו תנאי ההפרדה (ספרביליות). כלומר, בזמן שמדידות מבוצעות על מערכת A ישנה מציאות ששייכת למערכת B בלבד. כך מערכת B שומרת על זהותה הנפרדת למרות שהיא קשורה ל-A.

אבל אם יוצאים מתוך ההנחה שמכניקת הקוונטים היא תיאוריה שלמה (הפירוש האורתודוקסי למכניקת הקוונטים שנתקבל כתוצאה מפשר קופנהגן), המדידה על A משנה בצורה טלפתית את המצב של B (הפרה של עקרון הלוקאליות והספרביליות), כי השינוי מתרחש מיידית תוך העברת מידע במהירות אינסופית וזה מפר את עקרון קביעות מהירות האור בתורת היחסות הפרטית; ולפיכך מפר את יחסיות הבו-זמניות.

איינשטיין כמובן מיד נזעק ואמר שלנוכח סתירה בוטה זו, אם למרות ש-A ו-B מופרדים מרחבית – אי לוקלאיות – שניהם נחשבים למערכת אחת, כלומר פונקצית גל בסופרפוזיציה ולא נחשבים לשני חלקים ממשיים נפרדים, אז יש לשייך קיום נפרד לכל אחד משני חלקי המערכת. עלינו להביט על שתי המערכות A ו-B המופרדות מרחבית כבעלות מצבים ריאליסטים נפרדים, שהם בלתי תלויים באקט המדידה. ולכן איינשטיין מסיק מכך שיש לשייך ערכים ריאליסטים עבור התנע והמיקום של המערכת B.

בשנת 1950 דיויד בוהם ניסח מחדש את ניסוי האפ”ר המקורי בצורת מדידה של חלקיקי ספין חצי. באנלוגיה לניסוי המחשבה של בוהם, מכיוון שיותר קל למדוד קיטוב של פוטונים מאשר את הכיוון של חלקיקי ספין חצי, ניתן להשתמש במסנן קיטוב במקום במכשיר שטרן-גרלך. נבחן שני חלקיקים, שכתוצאה מאינטראקציה כלשהי או תהליך יצירה כלשהו, כל אחד מהם יכול לקבל אחד משני מצבים קוונטיים אפשריים. נגיד שהחלקיקים הם פוטונים ושני המצבים האפשריים הם קיטוב אנכי ואופקי. שני הפוטונים תמיד מגיחים מהאינטראקציה במצבים מנוגדים של קיטוב ליניארי: אחד אנכי והשני אופקי, אבל לא שניהם אופקיים או שניהם אנכיים. אין לנו כל דרך מעשית לדעת איזה פוטון מגיח באיזה מצב.

המצב הקוונטי המשולב הדו-חלקיקי הוא שילוב ליניארי של מכפלת המצבים של שני הפוטונים. כתוצאה הפוטונים אבדו את עצמאותם והם בשזירה קוונטית. ב-1964 ג’ון בל פרסם ניסוי מחשבה – שהוא גרסה לניסוי האפ”ר, ניסוי  EPR-BELL – כלומר EPRB שנועד להבחין בין מכניקת הקוונטים לתיאוריות המשתנים החבויים הלוקאליות. בגרסה של בל לניסוי האפ”ר מכניקת הקוונטים ותורות המשתנים החבויים הלוקאליות ניבאו מבחינה סטטיסטית תוצאות ניסוייות שונות.

הגרסה של ניסוי בל, ניסוי EPRB, בוצעה במעבדה על ידי אלן אספה והניבויים של מכניקת הקוונטים אושרו; ולכן הרעיון של איינשטיין לפיו יש לשייך קיום נפרד לכל אחד משני החלקיקים בשזירה הקוונטית בגלל הסתירה עם תורת היחסות הפרטית נפל. בל הדגים תיאורטית שאילו הערכים בקורלציה היו בגלל סיבות לוקאליות, כפי שאיינשטיין סבר, הם היו מספקים סדרה של אי שיוויונים, שברבות הימים נקראו על שמו “אי שוויני בל”. אבל לפי הפירוש של תורת הקוונטים האורתודוקסית והניסויים שבוצעו על ידי אספה והניסויים המאוחרים יותר, אי שוויוני בל מופרים על ידי קריסה מיידית ולא לוקאלית של פונקצית הגל עבור שני הפוטונים; ולכן לא יתכן הסבר לקורלציה בין החלקיקים בניסוי אפ”ר על בסיס הסיבתיות הלוקאלית. ראו כאן.

אם בוחנים את ניסוי אפ”ר במערכת הייחוס של המעבדה ומביטים בדיאגראמת המרחב-זמן של מינקובסקי, מגלים שאירועי המדידה של החלקיקים הקוונטיים בניסוי אפ”ר הם בעלי הפרדה דמוי-מרחבית. לכן כמו שאיינשטיין הבחין לראשונה ב-1935, אם רוצים לספק הסבר לניסוי על בסיס השפעות לוקאליות של חלקיק אחד על השני, ההסבר צריך להיות מבוסס על השפעות שנעות במהירות גבוהה מזו של האור, למעשה במהירות אין סופית; אפשר לומר את זה גם כך: צריך להשיב את הפעולה למרחוק לפיסיקה, שפועלת מיידית, פועלת על חלקיק שנמצא במרחק עצום ממכשיר המדידה שלנו. חיבור לא לוקאלי בין שני חלקיקים מרוחקים מייצג קשיים רבים בפירושים במכניקת הקוונטים והוא מוקד המתיחות בין תורת הקוונטים לתורת היחסות הפרטית – ובגלל המתיחות הזו איינשטיין כתב כעשר שנים מאוחר יותר לחברו מקס בורן ב-1947 שמדובר ב”פעולה למרחוק של רוחות רפאים”.

אבל ברבות הימים חוקרים בכל זאת חשבו שחייבת להיות תקשורת מוזרה בין החלקיקים בשזירה קוונטית והם שאלו את עצמם: האם אנחנו יכולים לנצל את התקשורת המוזרה שקיימת בין הפוטונים השזורים המרוחקים כדי לשלוח הודעות במהירות על אורית?

נבחן ניסוי מחשבה בו ישנה מערכת תקשורת על אורית שפועלת על עקרון השזירה הקוונטית. למערכת יש משדר, מקלט וחוט שמקשר ביניהם והוא מורכב משני פוטונים בקורלציה, שנפלטים ברציפות לכיוונים מנוגדים במרווחי זמן קבועים, כל עשר ננושניות. הפוטונים שמרכיבים זוג מתוזמנים כדי להגיע בו-זמנית למשדר ולמקלט. במשדר יש מתג שמכוון את הפוטון הראשון בין שני מסלולים אופטיים. המסלול הראשון מוביל את הפוטון לפילטר קיטוב שמכוון עם צירו למעבר מקסימאלי בכיוון האנכי והמסלול השני מוביל לפילטר מקטב שמכוון לכיוון האופקי. המשדר מזהה גילוי פוטון שעבר דרך המקטב האנכי כ-1 וכזה שעבר דרך המקטב האופקי כ-0. למקלט שממוקם על הירח יש רק פילטר אחד שמכוון אנכית.

נגיד שישנם שני גלאים, שנהוג לכנותם בז’רגון של תורת הקוונטים בשם אליס ובוב, והם מעבירים ביניהם מסרים. אליס היא על כדור הארץ והיא רוצה לשלוח מסר שמקודד לקוד בינארי בעל ארבע אותיות 1001 לבוב על הירח. הפוטון הנכנס מגיע למתג במשדר והוא מעבירו למקטב האנכי. הגילוי שלו מאלץ את הפוטון של בוב למצב קיטוב אנכי. הספרה הועברה מיידית או במהירויות שהם פי עשרת אלפים ויותר ממהירות האור. כאשר המשדר רוצה לשלוח 0 המתג מעביר את הפוטון הנכנס למקטב האופקי. הגילוי שלו מאלץ את הפוטון של בוב למצב אופקי, שנחסם על ידי המקטב במקלט: מכיוון שהמקלט מצפה לפוטון הבא תוך 10 ננושניות והוא לא מגיע, המקלט מזהה חוסר גילוי כ-0. התהליך נמשך עד שכל הספרות התגלו תוך כמה ננו שניות ולמעשה התקשורת היא מיידית וניתן גם למקם את המקלט על גלקסיה אחרת.

המהלך נראה מושלם, אבל למרבה הצער הוא לא יכול לפעול ולכן אף אחד עד היום לא רשם עליו פטנט. כאשר הפוטון של אליס עובר דרך המתג במשדר הוא לא מנותב אוטומטית למצב של קיטוב אנכי. לפי תורת הקוונטים יש לו הסתברות שווה לקיטוב אנכי ואופקי; ולנו אין כל אמצעי ניבוי מראש מה יהיה הקיטוב. אנחנו יכולים למדוד את הקיטוב של הפוטון אחרי שמתרחשת קריסה, אבל אין שום דרך לשלוט איזה מבין שני הקיטובים יקבל הפוטון במהלך הקריסה. אליס שמודדת ובכך גורמת לקריסה של פוטון אחד מזוג הפוטונים בשזירת אפ”ר לא יכולה בשום דרך ואמצעי מכוון להשפיע על התוצאה שאותה בוב יקבל כאשר הוא מודד את הפוטון האחר. לכן העברת הפוטון של אליס למקטב האנכי לא מבטיחה שהפוטון של בוב יאולץ למצב של קיטוב אנכי. עדיין יש סיכוי של 50 אחוז שהפוטון של בוב יעבור או יחסם על ידי המקטב במקלט שלו. לא ניתן להעביר שום הודעה בין בוב לאליס באמצעות השזירה הקוונטית במהירות על-אורית. הדרך היחידה היא שאליס תודיע לבוב את תוצאות המדידה שהיא ביצעה וקבלה באמצעות ערוץ תקשורת רגיל וקלאסי וזה מגביל את מהירות התקשורת לזו של מהירות האור.

 לפי הפירוש האורתודוקסי למכניקת הקוונטים הקיטובים של הפוטונים הם כלל לא מוגדרים לפני המדידה. בהתחלה שני הפוטונים הם במצבי סופרפוזיציה של קיטוב אנכי וקיטוב אופקי. וכאשר המדידה של פוטון אחד מתרחשת, רק אז שני הפוטונים יחד קורסים לקיטוב מוגדר היטב. מכניקת הקוונטים לא מגדירה במדויק את הקיטובים ומה הם הקיטובים עבור זוג הפוטונים לפני שהם נמדדים. ויותר מזה, מכניקת הקוונטים לא מוכנה בכלל לקבל את המושג “קיטוב מוגדר” של כל אחד מהפוטונים בשזירה כמשהו תקף בתיאוריה. אנחנו יכולים להגדיר את הקורלציה בין הפוטונים, אבל לא את הקיטוב הנפרד של כל פוטון. כל פוטון הוא במצב של שזירה וסופרפוזיציה עם הפוטון האחר.

לכן הקשר הקוונטי פירושו תופעה חדשה. אמנם דומה שהתופעה קונסיסטנטית עם תורת היחסות הפרטית, שאוסרת מעבר מידע במהירות על-אורית, אבל המחיר הוא מסתורין קוונטי. שימו לב שהנימוקים האלה התקבלו מתוך שיקולים קוונטיים ואין כאן כלל נימוקים ייחסותיים והסבר יחסותי.

עתה נתמקד בשיקולים ייחסותיים. בהנחה ששום מסר אינו יכול לנוע מהר יותר מהאור, אם אנחנו רוצים להעביר תשדורת לגבי האופן שבו הגלאים A ו-B המודדים בניסוי האפ”ר יהיו מסודרים, עלינו להעבירה לפני שאנחנו מסדרים את הניסוי כדי שהיא תגיע בזמן. לכן עלינו להניח שהכיוון של הגלאי המרוחק וההתנהגות של הפוטון המרוחק B הם נקבעים על ידי אירועים בתוך קונוס האור של העבר (קונוס העבר). אבל תיאוריה כזו מיד נופלת בגלל שקשה לדמיין שאירועים כאלה בעבר ישפיעו על פוטונים שהם מרוחקים זה מזה. אין שום אמצעי שבאמצעותו סיגנל תת-אורי וסיגנל אורי מהעבר יכול לספק את המידע מצד אחד של הניסוי לצד האחר. גם אם נאפשר לפוטון לבסס את תגובותיו על כל האירועים מקונוס העבר שלו, לא נצליח למצוא אסטרטגיה שתשיב את הקורלציה הקוונטית. הבעיה היא שבעקרון הכיוון של הגלאי המרוחק B לא נקבע על ידי האירועים בקונוס העבר. נגיד שנאמץ תיאוריה לוקאלית דטרמיניסטית (ניתן להשתמש בידע השלם אודות המצב העכשווי של המערכת הפיסיקאלית כדי לקבוע את המצב העתידי של המערכת) או לוקאלית סטוקאסטית; ונניח ששום השפעה סיבתית לא יכולה להתפשט מהר יותר מהאור. גם אם נגיד נבחן אירוע בתוך קונוס העבר והסבר על פי תיאוריה סטוקסטית כזו, לשום אירוע כזה לא יכולה להיות השפעה מחוץ לקונוס האור של העתיד (קונוס העתיד) שלו. האירועים בקונוס העבר יכולים להשפיע רק על האירועים בקונוס העתיד ולא על אירועים שהם מופרדים דמוי-מרחבית. לאירועים בתוך קונוס האור אין השפעה ישירה על אירועים דמוי-מרחביים וישנו חיץ בין הקורלציות הקוונטיות הדמוי-מרחביות (בעלות סיבה משותפת) וכל האירועים בתוך קונוס העבר.

כאשר מצב בשזירה קורס על ידי אינטראקציה עם אחד משני החלקיקים, החלקיק השני קורס באמצעות תהליך לא-לוקאלי וסופרפוזיציה מייצגת מצב בלתי מוגדר (טיעון נגד הריאליזם) והקריסה למצב מסוים היא תהליך אקראי (טיעון נגד הדטרמינזם).

אולם חוקרים ניסו להסביר את ניסוי אפ”ר על ידי תיאורית העולמות המרובים של יו אברט שמשמיטה את קריסת פונקצית הגל לפיה אין קריסה של פונקצית הגל. לכן מדובר בתהליך מדידה ובצופים בשזירה שמתפצלים לעולמות מקבילים. אבל למעשה תיאורית העולמות המרובים היא תיאוריה לוקאלית: התפצלות לעולמות מרובים היא תהליך לוקאלי. בנוסף, כל האפשרויות קיימות בכל העולמות. אם יש חוקרים שמקווים שהמצב הקוונטי ייצג “ממשות” של פוטון, תיאורית העולמות המרובים מעבירה את הריאליזם למקום אחר: יש יותר מידי ריאליזם, ישנן ריבוי מציאויות מוגדרות. פירוש העולמות המרובים מחזיר גם את הדטרמיניזם: פונקצית הגל מתפתחת בהתאם למשוואת גלים דטרמיניסטית וכל תוצאה אפשרית של המדידה מתממשת בעולם משלה. הבעיה היחידה היא שצופה בעולם אחד יכול להתלונן על כך שהוא קיבל תוצאה X ולא Y בניגוד למה שהוא חזה בהתחלה.

נבחן את ניסוי האפ”ר לפי פירוש העולמות המרובים: המדידה של חלקיק A מתפצלת לשתיים באמצעות תהליך לוקאלי ואז שוב מתפצלת. בגלל שאין קריסת פונקצית גל הצופה ליד A צריך להודיע לצופה ליד B את תוצאות המדידה שלו ואז כל אחד מהם מיד מתפצל – וזה קורה באמצעות שרשרת של אירועים לוקאלית במהירות תת-אורית וכמובן ללא סתירה עם תורת היחסות הפרטית.

אולי טכיונים, שבהגדרה נעים מלכתחילה במהירות על-אורית, מסוגלים להסביר את ניסוי האפ”ר והפרת אי שוויוני בל? או אולי בכלל ניתן להשתמש בטכיונים לתקשורת על אורית, סוג נוסף של טלפון בל? האם אפשר לשלוח מסר או טלגרף מאזור מדידה אחד בניסוי אפ”ר לאחר באמצעות תקשורת על-אורית לא לוקאלית טכיונית?

הבעיה בטכיונים היא שמערכות ייחוס שונות עשויות לא להסכים ביניהן על הסדר הזמני שבו מתרחשים האירועים ולכן לגבי מה מרכיב את העבר של אירוע כלשהו, אבל עדיין כל מערכת ייחוס מסוגלת להרכיב סיפור שהוא קונסיסטנטי למבנה הזמני שלה. בסיגנלים שנעים במהירות תת-אורית הפליטה של הסיגנל תמיד מתרחשת לפני קבלתו. לגבי הטכיונים שנעים במהירות על אורית, במערכות ייחוס מסוימות, הקבלה של הסיגנל העל אורי עשויה להיות לפני השליחה שלו. פירושו שהסיגנל נע אחורנית בזמן ולכן במערכות ייחוס אלה התוצאה קודמת לסיבה. הסדר הזמני נובע ממהירות האור ומהעברת הסיגנלים והמידע בסיגנלים. טכיונים גורמים לבעיות בגלל שאם משתמשים בהם לשלוח מסרים אחורנית בזמן תהיה להם אנרגיה שלילית ולכן הם יצרו חוסר יציבות דינמית. האם כדי להעביר מידע הטכיונים זקוקים להעביר אנרגיה? פוטונים חסרי מסה מוגבלים לקונוס האור בגלל שהם נושאים אנרגיה במהירות האור. אבל אם נשתמש בטכיון חסר מסה, האנרגיה והתנע של חלקיק חסר מסה על אורי הם אפס וטכיון כזה יכול להעביר מידע ללא אנרגיה.

נגיד שנצליח לנטרל את האלמנט שהטכיונים נעים אחורנית בזמן על ידי הצבת תנאי קונסיסטנטי כלשהו. כדי לבצע את העבודה הטכיונים צריכים לשאת את המידע במהירות על אורית מצד אחד של ניסוי אפ”ר לאחר. נניח שבניסוי אפ”ר במערכת ייחוס מסוימת (יחסית למערכת המעבדה) כאשר מבוצעת מדידה (אנחנו צופים בפוטון הראשון A), בדיוק ברגע התצפית הזו הפוטון  A שולח טכיון לפוטון השני B והטכיון מעביר לו את המידע שעליו להיות בקורלציה עם תוצאת המדידה שכבר בוצעה על הפוטון הראשון A. כלומר, הטכיון גורם לפוטון B להגיב בהתאם. הטכניונים הם לכן “משתנים חבויים”. במצב זה מניחים שהקיטובים של הפוטונים הם מוגדרים היטב – הנחה ריאליסטית – והם מתוארים במדויק על ידי המשתנים החבויים. ואז במערכות ייחוס מסוימות תסריט זה פועל. אם במערכת ייחוס נתונה אירוע הגילוי של הפוטון הראשון A מתרחש לפני האירוע שבו הטכיון פוגש את הפוטון השני B, רצף האירועים יכול להתפרש כך שהטכיון נפלט כאשר צופים בפוטון A ונבלע על ידי בן זוגו B בדיוק בזמן כדי שתהיה לו השפעה על התנהגותו.

אבל עקב היותו של הטכיון בהגדרה חלקיק שנע במהירות על אורית ישנן מערכות ייחוס שבהן הטכיון הוא חסר תועלת: בהן הטכיון נפלט על ידי הפוטון הראשון A בטרם זה נמדד ולכן הוא אינו מסוגל לשאת מידע שימושי לפוטון השני B בעת שהוא מגיע לאירוע התצפית; וגרוע מזה, הפוטון השני B פולט טכיונים ברגע שבו הפוטון הראשון A מכוון. קורלציות אלה בין פוטונים מרוחקים באירועים דמוי מרחביים הן בדיוק אלה שהתחלנו איתן.

למעשה ישנן בעיות גם במערכות הייחוס שבהן הסדר הזמני הוא נכון: הקיום של הטכיון צריך להיות תלוי באופן המדידה שמבוצעת על הפוטון הראשון A. צריכה להיות קורלציה חזקה בין כיוון מכשיר המדידה של הפוטון A וזה של המכשיר של הפוטון B כדי שזה יקבל מידע שימושי מהטכיון. לכן טכיון שנע במהירות על-אורית מלכחתילה לא עוזר לפתור את אי הלוקאליות והקורלציות הקוונטיות.

אם מביטים על מערכת הקורלציה הדו-חלקיקית של ניסוי אפ”ר מנקודת המבט של תורת השדות הקוונטית, ניתן לחשוב על האפקטים הקוונטיים ככאלה שמשנים את גיאומטרית מינקובסקי. ב-2007 חוקרים הציעו תיאורית משתנים חבויים יחסותית נוספת: עבור מודל אפ”ר האפקטים הקוונטיים גורמים למטריקה המינקובסקית לעבור טרנספורמציה למטריקה חדשה. מתקבלת גיאומטריה שהיא אפקטיבית בעלת שתי סינגולאריות במטריקה והיא בדיוק בעלת תבנית של גשר כמו חור תולעת. בדרך כזו ניתן לפרש את הקורלציות שבניסוי אפ”ר ככאלה שנובעות מחור תולעת אפקטיבי שמקשר בין שני החלקיקים בניסוי אפ”ר ודרכו מועברים או מתפשטים סיגנלים – ולכן לא זקוקים לטכיונים. המרחב-זמן מתעוות, המרחק מתקצר. אבל תיאור כזה מחמיץ את האי-לוקאליות, חוסר הדטרמיניזם וחוסר הריאליזם שבקורלצית האפ”ר.

ב-1999 סטיבן וינברג הציע תיקון לא ליניארי קטן למשוואות הגלים של מכניקת הקוונטים הסטנדרטית. התברר שכאשר מיישמים את התיאוריה של וינברג לקורלציות בין חלקיקי האפ”ר ניתן להעביר מסר מיידי בין החלקיקים הקוונטיים בניסוי האפ”ר. מכאן הגיעו למסקנה שמכניקת הקוונטים הלא ליניארית מפרה את הסיבתיות ויתכן טלפון אפ”ר (תקשורת בין צופים לא לוקאליים). אולם ג’וזף פולכינסקי הראה שהאפקטים העל-אוריים הם טעות שנגזרת מהניסוח המסוים של וינברג ואם נכליל את הניסוח של וינברג הטעות תעלם. מיד הופיעו חוקרים שהדגימו: לא רק שהקושי של הופעת ההשפעות העל-אוריות ייחודי לניסוח של וינברג, אלא המתכון של פולכינסקי לתורות קוונטיות לא ליניאריות קוזאליות שלא מכילות השפעה על אורית נופל.

אם כך, האם תורת היחסות מופרת? הויכוח נמשך בספרות. לפי הקונסנזוס הסטנדרטי במכניקת הקוונטים – אנחנו נותרנו עם המסתורין הקוונטי, קשר קוונטי מסתורי בין חלקיקים. זהו המחיר שמשלמים כדי לא להפר את עקרונות תורת היחסות הפרטית. אם ננסה להסביר קורלציות קוונטיות לא לוקאליות על ידי השפעה היפותטית לוקאלית וריאליסטית, השפעה כזו תצטרך לנוע במהירות על אורית ולא סתם, אלא במהירות אינסופית.

בניגוד להסברים הלוקאליים הריאליסטיים שמאלצים אותנו להשתמש בתמסורת על-אורית, הפירוש הסטנדרטי המקובל במכניקת הקוונטים האורתודוקסית אומר, ששום מידע לא מועבר בין קצה אחד של ניסוי אפ”ר לקצה השני; כלומר, אין למעשה קונפליקט בין תורת הקוונטים לתורת היחסות וזאת בגלל שצופים שהם מופרדים מרחבית (אי לוקאליות) בניסוי מסוג האפ”ר לא יכולים להשתמש בבחירות המדידה שלהם ובתוצאות המדידה שלהם כדי לתקשר זה עם זה וכדי להעביר מידע זה לזה. מכניקת הקוונטים אף מרחיקה לכת באומרה שהריאליסטים מחשיבים את מדידות הקיטוב לקיטוב של פוטונים ממשיים. אולם, ניתן לחשוב על ניסוי אפ”ר כעל קורלציה סטטיסטית בין מכשירי המדידה בלבד מבלי לדבר כלל על פוטונים, אלא רק על מדידות ונתונים… ג

אחד המחקרים האחרונים בתחום מסוף אוקטובר

Einstein’s pathway to his General Theory of Relativity

Einstein thought that when dealing with gravity high velocities are not so important. So in 1912 he thought about gravity in terms of the principle of relativity and not in terms of the constant-speed-of-light postulate (special relativity). But then he engaged in a dispute with other scholars who claimed that he gave up the central postulate of his special theory of relativity. x

File:Max abraham.png

Max Abraham

File:Gunnar Nordström.jpg

Gunnar Nordström

Einstein’s Pathway to his Equivalence Principle 1905-1907

paper

1912 – 1913 Static Gravitational Field Theory

paper

1913 – 1914 “Entwurf” theory

paper

Berlin “Entwurf” theory 1914

paper

The Einstein-Nordström Theory

paper

Dawn of “Entwarf theory”

paper

1915 Relativity Theory

paper

1916 General Theory of Relativity

paper

איינשטיין ותורת היחסות הפרטית: איינשטיין במשרד הפטנטים Einstein and Relativity: Patent Office

Einstein’s business card, Princeton  כרטיס ביקור

In the Patent Office Einstein hatched his most beautiful ideas, and there he spent his “Happy Bern Years”. These wonderful ideas led to his miraculous year works of 1905. Einstein was not an expert in academic matters, and he was out of academic world. Neither did he meet influential professors, or attend academic meetings. He discussed his ideas with his close friends and colleagues from the Patent Office. In 1907 he finally got his foot into the academic doorway; Einstein became a privatdozent and gave lectures at the University of Bern. However, his first students consisted again of his two close friends and another colleague from the Patent Office. Read my papers in the link below

Einstein and the Theory of Relativity

Helge Kragh Writes in his paper “A Sense of Crisis: Physics in the fin-de-siecle Era”:

If mass is of electromagnetic origin it will increase with the speed or kinetic energy of the body in question, such as shown by Abraham, Lorentz and other electron theorists in the early twentieth century. It followed that the concepts of mass and energy could not be strictly separate, but that they must be connected by an equivalence relation of the same kind that Einstein famously proposed in 1905 (namely, E = mc2). According to this point of view, matter was not really dead, it had merely metamorphosed into energy. Proposals of a mass-energy relationship predated Einstein’s theory of relativity, and they added to the feeling that the entire foundation of physics had to be reconsidered. Young Einstein agreed, but for very different reasons. He saw no merit in the fashionable electromagnetic research program”. x

I don’t agree with Kragh. Einstein was the first to propose the inertial mass-energy equivalence (namely, E0 = m0c2). Abraham, Lorentz, and Poincaré (fin-de-siecle scientists) did not explore the inertial mass-energy equivalence, “an equivalence relation of the same kind that Einstein famously proposed in 1905”. In 1908 Einstein wrote the German physicist Johannes Stark: “I was a little surprised to see that you did not acknowledge my priority regarding the relationship between inertial mass and energy”. See my paper. x

איינשטיין פקיד במשרד פטנטים.

נתחיל בשתי תובנות קלאסיות של חבריו של איינשטיין, שהן אופייניות מאוד לעולם האינטיליגנציה:

מקס תלמוד כתב ב-1932: “מצאתי את חברי [איינשטיין בברן]. סביבתו העידה על מידה רבה של עוני. הוא גר בחדר קטן ומרוהט בעוני. למדתי שהיה לו מאבק חיים קשה עם משכורת דחוקה של פקיד במשרד הפטנטים. קשייו הועצמו בגלל אנשים שקינאו בו והניחו בדרכו מכשולים. כבונוס חברי נתן לי עותק של פרסומו הראשון [על קפילאריות]”.

פרידריך אדלר [חברו של איינשטיין לספסל הלימודים בפוליטכניון] כתב לאביו ב-19 ליוני 1908 לאחר שזכה בתחרות מול איינשטיין על משרת פרופסורה באוניברסיטת ציריך ובסוף ויתר לאיינשטיין על המשרה: “איש בשם איינשטיין, שלמד באותו הזמן בו אני למדתי. אפילו שמענו כמה הרצאות יחד. התפתחותנו נראתה מקבילה: הוא התחתן עם סטודנטית בערך באותו הזמן כמוני ויש לו ילדים. אבל אף אחד לא תמך בו ולמשך זמן הוא כמעט גווע ברעב. כסטודנט הפרופסורים התייחסו אליו בבוז, הספרייה פעמים רבות הייתה סגורה בפניו, ועוד. לא הייתה לו כל הבנה כיצד להסתדר עם האנשים החשובים… לבסוף, הוא מצא משרה במשרד הפטנטים בברן, ובמהלך כל התקופה הוא המשיך בעבודתו התיאורטית למרות כל ההפרעות”.

איינשטיין במשרד הפטנטים

ב-23 ליוני 1902, בשמונה בבוקר בדיוק איינשטיין התייצב לעבודה במשרד הפטנטים הפדראלי השווצרי. הוא עלה למשרדו בבנין הדואר והטלגרף שליד מגדל השעון המפורסם מעל שער העיר ברן. תפקידו היה עורך פטנטים; מומחה טכני זמני בדרגה 3 והוא הרוויח משכורת של 3500 פרנקים לשנה. הוא העריך פניות פטנטים, כתב שוב את הפניות שהתקבלו במשרד, כדי להגן על הממציא כנגד השגות גבול אפשריות. הוא בדק המצאות מקוריות והשלמות להמצאות שהוגשו למשרד; ניסח בבהירות את מהותן והיה צריך לבדוק בזהירות רבה האם הן מקוריות או לא. העבודה דרשה ידיעה של חוק הפטנטים ויכולת לקרוא ספציפיקציות טכניות, וידע בהנדסה ובפיזיקה, למעשה פיזיקה מאוד מעשית. בסירובו לפניות פטנטים מסוימות לא פעם הוא כתב: “פניית פטנט זו היא בלתי נכונה, בלתי מדויקת וכתובה לא ברור”. כאשר שאלו את איינשטיין כיצד פועל משרד הפטנטים? הוא הסביר, שיותר מכל, צריך להיות מסוגל לבטא בבהירות ונכון את הפטנט המקורי מתוך התיאור של התגלית והטיעונים של מגיש הפטנט.

אינשטיין הרגיש בבית במשרד הפטנטים ובין ערימות הפטנטים. כילד הוא הביט בדודו יעקב המהנדס והממציא במפעל המשפחתי, שהגיש ששה פטנטים על המצאותיו. במעבדה של פרופסור הינריך פרידריך וובר הוא לבטח גם כן בא במגע עם המצאות חדשות עליהן הוגשו פטנטים. חרף ניסיונות אלה, נדרשה מאיינשטיין רמת דיוק ואובייקטיביות, שהרי הקריטריונים לפיהם נבדקו הפטנטים לא פעם יכלו להיות נדונים בבית המשפט. איינשטיין היה פיסיקאי והיה לו מעט ניסיון בקריאה ובפירוש של איורים טכניים ובטח היה חסר ניסיון הנדסי, ולכן מנהל משרד הפטנטים פרידריך האלר הדריכו בקפדנות.

באקדמיה לעומת זאת, המקוריות והיצירתיות לא היו הקריטריון הראשי לטיפוס בסולם האקדמי, בייחוד בעולם דובר הגרמנית. לו איינשטיין היה מתקבל לאקדמיה הוא היה חש לחץ להתאים עצמו לדעות הקדומות או לממסד ולדעה המקובלת של פטרוניו, להתקבל כאסיסטנט לפרופסור, “קריירה אקדמית שבה אדם מאולץ ליצור כתבים מדעיים בכמויות עצומות יוצרת סכנה של שטחיות אינטלקטואלית”, אינשטיין אמר פעם מאחור יותר. כתוצאה יד המקרה שהביאה לו את משרד הפטנטים בברן, במקום משרה באקדמיה היוקרתית, כנראה שעודדה כמה מהתכונות שנועדו לגרום לו להיות מוצלח: עצמאות חשיבה יצירתית ושיפוט שאפשרו לו לערער על הנחות היסוד הבסיסיות. לא היה לחץ ודחיפה מצד בוחני הפטנטים להתנהג אחרת.

העבודה במשרד הפטנטים הייתה יצירתית למדי וכנראה שסיפקה לאיינשטיין חומר למחשבה בכיוונים חדשים בפיסיקה. הוא קיבל שכר קבוע ולכן הוא היה פטור מהדאגות החומריות. כעבור שלוש שנים במשרד הפטנטים, האלר הודיע לאיינשטיין בסוף שנת 1905 על העלאתו בדרגה. ומה הייתה תגובתו של אינשטיין? “אבל מה אני אעשה עם כל הכסף הזה?”

בזאת הצליח אינשטיין להתפנות לעבודה האמיתית – העבודה היצירתית המדעית הפיסיקאלית. כך החלה תקופת ברן במשרד הפטנטים של אינשטיין מ-1902 ועד 1909, שבמהלכה אינשטיין השתחרר מדאגות היומיום כדי להפיק את עבודתו היוצרת הטובה ביותר שלו. אינשטיין אהב לתאר את משרד הפטנטים לחבריו כ”מנזר החילוני” שלו.

ניתן ללמוד על תקופת שהותו של אינשטיין במשרד הפטנטים ממכתבו לחברו הטוב קונרד הביכט מספטמבר 1905. אינשטיין כותב להביכט, “אם תצוץ הזדמנות אתן לך דחיפה אצל האלר. אולי נצליח להבריח אותך בין נערי הפטנט. תגלה עדיין שזה נעים למדי. האם למעשה תהיה מוכן לבוא? תחשוב שמלבד שמונה שעות עבודה כל יום, בכל יום ישנן שמונה שעות של שעשועים, ואחר כך ישנו גם יום ראשון. אני מאוד אשמח אם תהיה כאן […] אינך צריך להיות מוטרד מזמני היקר, לא תמיד ישנו נושא רגיש להרהר עליו. לפחות לא כזה מרגש”.

במשרד פטנטים זה איינשטיין בילה את שבע השנים היצירתיות ביותר של חייו – אפילו אחרי שכתב את המאמרים ששינו את פני הפיזיקה. הוא היה מגיע כל יום בשמונה בבוקר, ששה ימים בשבוע ובודק בקשות לפטנטים. הוא בילה שמונה שעות במשרד ולפחות שעה אחת בשעורים פרטיים. אחר כך, בנוסף, הוא עשה עבודה מדעית כלשהי. אבל בדיקת בקשות לפטנטים לא הייתה עבודת פרך. איינשטיין עד מהרה למד שהוא יכול לעבוד על בקשות פטנטים כה מהר שזה הותיר לו זמן לחשוב על המדע במהלך היום.

אנטון רייזר, חתנו של אינשטיין מספר בביוגרפיה שלו, “הוא מהר מאוד גילה שהוא יכל למצוא זמן כדי להקדיש למחקריו המדעיים של עצמו במידה ועשה את עבודתו בפחות זמן. אבל שיקול דעת היה נחוץ, כי למרות שהממונים יכלו להיות מרוצים מהעבודה האיטית, החיסכון בזמן לעיסוקים אישיים היה אסור רשמית. אינשטיין המודאג הקפיד, שגיליונות הנייר הקטנים עליהם כתב ושרטט, ייעלמו לתוך מגירת שולחנו מיד כאשר הוא שמע צעדים מתקרבים מאחורי הדלת. אילו היו מגלים אותו, היו לועגים לו וגם פוגעים בו; המנהל היה צוחק בנוסף לכך שהיה כועס. הוא היה יותר מידי פוזיטיביסט מכדי שיחשוב על מדע ספקולטיבי”.

חמישים שנה אחרי משרד הפטנטים – פרינסטון תמונות של LIFE Ralph Morse

 fifty years after the patent Office – Einstein’s desk

בזמן שגיליונות ניירות מחקריו הזעירים היו נעלמים לתוך מגירת שולחן עבודתו במשרד הפטנטים בעת שהאלר היה מסתובב ושומר, איינשטיין כתב את מאמריו הגדולים ביותר של שנת 1905 ואלה גרמו בסוף למהפכה במאה ה-20.

האם יש לחוש צער על זה שאיינשטיין עבד בהתגנבות, בעודו מנודה מהאכסדרות של האקדמיה? אינשטיין עצמו האמין להפך, שמצב זה היה דווקא יתרון למדע שלו. שם במשרד הפטנטים הרעיונות הטובים ביותר שלו נבטו, כפי שהעיד בפני חברו מיקל’ה בסו מאוחר יותר.