כאוס וכאוס קוונטי: אפקט הפרפר קשור לשזירה קוונטית?

כאוס קוונטי: אפקט הפרפר קשור לשזירה קוונטית

ב-1993 לקחתי סמינר בחוג לפיסיקה אצל פרופ’ יקיר אהרונוב, “פרדוקסים בפיסיקה”. למדנו בין השאר גם על כאוס קוונטי. בסוף הקורס הגשתי לפרופ’ אהרונוב עבודה שהנושא שלה היה “כאוס קוונטי”. באותה תקופה כאוס קוונטי נחשב משהו ערטילאי ובאמת פרדוקסאלי. קבלתי על העבודה 95.

לפני שלושה ימים פאול ג’סן וקבוצתו בקולג’ למדעי האופטיקה באוניברסיטת אריזונה הודיעו שהם לראשונה יצרו עדות ניסויית לכך שכאוס קלאסי מופיע בעולם הקוונטי. הפרדוקס נהפך למציאות…

פאול ג’סן
 

מהו כאוס?

התנהגות של מערכת מכנית קלאסית השרה לחוקי ניוטון והיא משתנה בצורה בלתי ניתנת לניבוי היא כאוס. כמוכן התנהגות הא כאוטית כאשר לא קיימים סדר או סדירות נראים. ההתנהגות של המערכת המכנית הקלאסית היא לא של אירועים אקראיים או הסתברותיים כמו למשל השלכת מטבע: אין כל קשר סיבתי בין ההתנהגות של המטבע בכל רגע ורגע. התוצאה של זריקת המטבע לא תלויה בשום דרך בזריקה הקודמת. אלא מדובר בהתפתחות דטרמיניסטית לגמרי בעלת תוצאה כאוטית. מרגע לרגע המערכת מתפתחת בצורה דטרמיניסטית, כאשר המצב הנוכחי של המערכת תלוי במצב הקודם בצורה ריגורוזית. אולם מדידות שנעשות על המערכת לא מאפשרות את הניבוי של מצב המערכת אפילו מעט מאוד קדימה בעתיד. כל זאת בגלל שהמערכת היא לא-ליניארית: הערכים הנמדדים של תכונות המערכת במצב מאוחר יותר תלויים בצורה מסובכת בערכים הנמדדים במצב מוקדם יותר. מאפיין חשוב של התנהגות כאוטית הוא חוסר היציבות ביחס לשינויים קטנים, כך שמצבים התחלתיים מעט שונים יכולים להתפתח למצבים שונים בהחלט. לכן מדברים על תלות רגישה בתנאים ההתחלתיים. בתחילת שנות ה-60 אדוארד לורנץ כנה התנהגות זו בשם “אפקט הפרפר”: אטמוספרה לא יציבה יכולה להעצים הפרעה קטנה משק כנפיו של פרפר בברזיל לממדים מפלצתיים של סופת הוריקן בטקסס. במלים אחרות, ישנה מעין קורלציה (דטרמיניסטית) בין תופעה בברזיל לבין תופעה רחוקה ממנה בטקסס…

ברבות השנים הגיעו למסקנה שהתנהגות כאוטית היא הכלל בעולם הנשלט על ידי הפיסיקה הקלאסית ולא היוצא מהכלל. אפילו אירועים זניחים, כמו משק כנפיו של פרפר זעיר, שאנחנו לא שמים אליהם לב, יכולים לשנות לגמרי את ההתנהגות של מערכות מורכבות. וזאת עד למצב שבו לא נבחין בכל סדר נראה במערכות הטבע שבהן אנו עוסקים בחיי היומיום.

כאוס קלאסי במערכת קוונטית

עד כה, איש לא הפיק עדות ניסויית לכך שכאוס מופיע בעולם הקוונטי, בעולם של הפוטונים, האטומים, המולקולות ואבני הבניין שלהם. נראה שזהו עולם שנשלט על ידי אלוהים שמשחק בקוביות, למורת רוחו של אינשטיין… עולם ששר לעקרון אי הודאות: אטום הוא גם חלקיק וגם גל, וזה בלתי אפשרי לקבוע את מיקומו ומהירותו בו-זמנית. ובכן בדיוק זה מציב בעיה רצינית, שכן אנחנו לא יכולים לדעת בוודאות לגמרי את כל המידע אודות החלקיק הקוונטי. וגם לא ניתן לכן לבנות תיאוריה דטרמיניסטית שהיא רגישה לתנאי ההתחלה – ההגדרה של כאוס.

ועדיין מכניקת הקוונטים היא תיאוריה שלמה שמתארת היטב את העולם הפיסיקאלי המיקרוסקופי ולכן היא אמורה להסביר את כל תופעות הטבע כולל כאוס קוונטי, הלא כן? אם כן איך ניצור כאוס קוונטי? הבעיה היא שלא רואים כאוס במערכות קוונטיות, ומכניקת הקוונטים היא בכל זאת התיאוריה הבסיסית ביותר, שממנה נובעת בגבול הקלאסי המכניקה הקלאסית ובכלל הפיסיקה הקלאסית כמקרה גבולי. מה עושים?

פאול ג’סן וקבוצתו מהקולג’ האופטי באוניברסיטת אריזונה ביצעו סדרת ניסויים שמראים בדיוק כיצד הכאוס הקלאסי גולש אל תוך העולם הקוונטי. המדענים מדווחים על הניסוי שלהם ב-8 לאוקטובר בכתב העת Nature במאמרם: Quantum signatures of chaos in a kicked top”.

הניסויים שלהם מראים טביעות אצבע ברורות של כאוס קלאסי במערכת קוונטית שמתוכננת לחקות דוגמא לכאוס, מערכת שידועה בשם “סביבון מוכה”. זוהי מערכת קשיחה שמסתובבת על צירה ומכים אותה בצורה מחזורית כאילו הדלקנו את הכבידה בפולסים. במקום שהמערכת תסתובב כרגיל, המכות גורמות לה לנוע בצורה לא סדירה, כאשר היא עוקבת אחר תבנית לא מסודרת וכאוטית. כיצד זה יראה במרחב הפאזות? התנע הזוויתי של חלק מהמערכות יתפתח בטבעות-טבעות מוגדרות, בעוד שעבור האחרות, תוך תלות בתנאי ההתחלה, הוא יהיה כאוטי.  

הגרסה הקוונטית של המערכת היא “הסביבון המוכה הקוונטי” – מודל מיקרוסקופי לסביבון שמסתובב על צירו בקצב קבוע: אטומי צזיום בודדים, שמקוררים על ידי פולס גל עומד של אור לייזר. אולם אטומים הם עצמים קוונטיים ולכן לא ניתן לדעת את תנאי ההתחלה בדיוק. מה עושים? ג’סן וקבוצתו השתמשו בטכניקת המנהור הדינמי. בדומה למנהור הקוונטי – שבו החלקיק עובר דרך מחסום פוטנציאל מבלי שיש לו האנרגיה המתאימה, מנהור דינמי מאפשר לאטום צזיום לקפוץ בין טבעות התנע הזוויתי המוגדרות. כך תוך ביצוע מדידות רבות, החוקרים יכלו לקבל מדידות רבות ולמפות את המעבר בין התנהגות רגילה להתנהגות כאוטית בדיוק כמו במערכת הסביבון הקלאסית:

<img id=TB_Image style="WIDTH: 593px; HEIGHT: 231px" height=249 alt="Experimental data showing evolving quantum phase space (Husimi) distributions for an initial state centered on a large island. The phase-space plots are similar to those obtained from classical kicked tops. (Courtesy: Nature)” src=”http://images.iop.org/objects/physicsweb/news/13/10/10/chaos1.jpg&#8221; width=700>

נתונים ניסויים שמראים את התפתחות מרחב הפאזות הקוונטי – מצב התחלתי שמרוכז באי גדול. תרשימי מרחב הפאזות האלה הם זהים לאלה שהתקבלו מהסביבונים המוכים הקלאסיים – ראו המשך.  

כיצד יוצרים סביבון מוכה קוונטי? משנים את כיוון הספין של האטומים שוב ושוב בסדרת מחזורים, כאשר כל מחזור הוא “מכה” או מעין סיבוב שנותנים לאטום. בגלל שהאטומים בספין הם מגנטים זעירים, המכות הועברו על ידי שדה מגנטי בפולסים. הסיבובים של האטומים הושגו על ידי הצבת האטומים בשדה חשמלי בתדירות אופטית שהועבר על ידי קרן לייזר מכוונת היטב. בכל רגע קצר שבו האור דולק, הכוח על אטום הצזיום תלוי במיקום בין שיאי הגלים בדיוק באותו האופן שבו הכוח תלוי במיקום הזוויתי בסביבון הקלאסי. אטומי הצזיום עברו מניפולציה בעזרת שדות מגנטיים ואור לייזר, בעזרת כלים וטכניקות שפותחו על פני עשור של עבודת מעבדה קשה ומסובכת.

המדענים השתמשו בטכניקת סריקה טומוגראפית כדי לבצע דימות של המצב הקוונטי מכני של הספין האטומי בסוף כל מחזור מכה-סיבוב של האטום. הם קבלו תמונות וסרטים של המצב הקוונטי המתפתח, שמראים שהאטום מתנהג כמו המערכת הקלאסית המקבילה לו באופנים משמעותיים מסוימים.

שינוי ציר הספין של אטום הצזיום אחרי 40 מחזורי ניסוי: שני העיגולים למעלה הם תוצאות הניסוי ושני העיגולים למטה הם סימולציה תיאורטית.

אחד המאפיינים המשמעותיים ביותר שהתגלו בסריקות אלה היה הבא: הסביבון המסתובב הקוונטי הראה את אותם הגבולות בין יציבות לכאוס שמאפיינים את התנועה של הסביבון המסתובב הקלאסי. כלומר, שגם המערכת הקלאסית וגם זו הקוונטית הדגימו יציבות דינאמית באותם האזורים, והדגימו חוסר יציבות מבחינה דינאמית מחוץ לאזורים אלה. הניסויים חשפו לראשונה חותמת כאוטית במערכות קוונטיות.

ממצא מעניין נוסף הוא שג’סן גילה שזירה קוונטית של הספינים במערכת הסביבון הקוונטית כל אימת שהדינאמיקה נהפכה לכאוטית. כזכור שזירה קוונטית היא קורלציה בין שני פוטונים שנפלטו בתחילה ואחר כך מתרחקים זה מזה למרחק עצום. מודדים גודל מסוים באותו הרגע אצל שני הפוטונים ויוצא שכאילו פוטון אחד יודע את התוצאה של האחר ומכוון את תוצאתו בהתאם לכך. מזכיר במשהו את אפקט הפרפר: הפרפר מזיז את כנפו בברזיל ומתרחש משהו בטקסס?…. אלא שהשזירה היא קסם בעולם הקוונטי ואפקט הפרפר היא קסם דטרמיניסטי קלאסי…

בכל אופן תיאורטיקנים חשדו מזה זמן רב שתחילת הכאוס מגביר את הסיכויים לכך ששני חלקים של מערכת קוונטית יכנסו למצב של שזירה קוונטית. הניסויים של ג’סן אכן הראו שהספינים של האלקטרון והגרעין נותרו לא שזורים כתוצאה מדינמיקה קוונטית יציבה, אבל מהר מאוד הם נשזרו אם הדינמקה נהפכה לכאוטית.

חזרה לעולם הקלאסי

פרקטלים תלת-ממדיים

במערכת כאוטית, כל איבר במערכת מגיב להשפעות ונוצרות השפעות חדשות. מתוך כל ההשפעות האלה נוצר איזה שהוא סדר מתהווה חדש, בלתי מתוכנן מראש, בעל מבנים בלתי צפויים מראש. מבנים אלה חוזרים על עצמם ברמות גודל שונות והם קרויים פרקטלים. הפרקטלים נתגלו על ידי בנואה מנדלברוט ב-1979 ופרקטל קרוי קבוצת מנדלברוט. קבוצת מנדלברוט מייצגת קבוצה של מספרים מרוכבים. קבוצת מנדלברוט היא צורה דומה לעצמה בכל רמת גודל: אם מתבוננים בקטע קטן מהצורה הוא דומה לצורה כולה: כל קטע של הפרקטל דומה לצורה השלמה, ותכונה זו קרויה דמיון עצמי.

מדען המחשבים וסופר המדע הפופולארי האמריקאי רודי ראקר חשב על הרעיון של פראקטל תלת-ממדי לפני עשרים שנה. ואז יום אחד ב-2007 קם לו מדען וחשב על הנוסחא הבאה לאלגוריתם מחשב: ניקח את קבוצת מנדלברוט הדו ממדית המקורית. בדיוק כמו הפרקטל הדו-ממדי הזה הנוסחא התלת ממדית לפרקטלים מוגדרת על ידי המשוואה הבאה: z -> z^n + c
אבל בנוסחא זו, ‘z’ ו-‘c’ הם מספרים היפר-מרוכבים, המייצגים קואורדינאטות קרטזיות z x, y,.

איבר החזקה מוגדר על ידי הדבר המסובך הבא:


{x,y,z}^n = r^n { sin(theta*n) * cos(phi*n) , sin(theta*n) * sin(phi*n) , cos(theta*n) }

כאשר:


r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
theta = atan2( sqrt(x^2+y^2), z )
phi = atan2(y,x)

והאיבר האחרון במשוואה z -> z^n + c שאותו מוסיפים לאיבר שמעלים בחזקה הוא זהה לחיבור מרוכב סטנדרטי והוא מוגדר על ידי:


{x,y,z}+{a,b,c} = {x+a, y+b, z+c}

שאר האלגוריתם הוא זהה לזה של קבוצת מנדלברוט דו ממדית.
 

בתחילה התקבלה התמונה הבאה:

 

ובהגדלה:


 

 

 

אולם עדיין זה לא היה הדבר האמיתי.

ואז הועלו כמה הצעות לנוסחאות והתקבלו פרקטלים תלת-ממדיים משוכללים שנקראים בשם 3D Mandelbulb  ונראים כמו קטיפה ועלי ברוקולי:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

סרט על Mandelbulb

<a href="

סרט נוסף על Mandelbulb

<a href="

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s