גרסה חדשה ומפתיעה לפרדוקס התאומים של אינשטיין

גרסה חדשה לפרדוקס התאומים: התאום המאיץ מבוגר יותר באיחוד המחודש

לרוב טוענים שפתרון פרדוקס התאומים הקלאסי צריך להיות התאוצה של התאום הנוסע. עליו להאיץ כדי להסתובב ולפגוש את אחיו שמעולם לא האיץ ונותר על כדור הארץ. כלומר, התאום שהאיץ הוא שמזדקן לאט יותר זהו ההסבר הקלאסי לפרדוקס התאומים בתורת היחסות הפרטית.

אולם שני חוקרים, הפיזיקאים מארק אברמוביץ מאוניברסיטת גוטבורג בשוודיה והאסטרונום סטניסלב בג’טליק מהמרכז האסטרונומי על שם ניקולס קופרניקוס בורסזווה אשר בפולין, נראה שמערערים על מושג זה במאמרם ממאי 2009. הם מחשבים, בהתאם למשוואות היחסות הכללית והפרטית, שהתאום המאיץ מבוגר יותר בעת האיחוד המחודש בין התאומים.

אל דאגה… עדיין התאום הנוסע לא זקוק לגשת דחוף למספרה כדי לצבוע שיער שיבה לשחור וליישר קמטים. ונראה שדווקא התאום בבית יצטרך לקבוע תור למספרה…

 

השעון של אינשטיין והנוסע של לאנג’באן

פרדוקס התאומים החל כפרדוקס שעונים בעמודים 904-905 של מאמרו המפורסם של אינשטיין אודות תורת היחסות הפרטית, “על האלקטרודינמיקה של גופים בתנועה” מ-1905. אינשטיין קיבל “תולדה מוזרה” המנוסחת כהאטת הזמנים היחסותית.

אינשטיין הציע את ה”געדאנגען אקספערימנט” (ניסוי המחשבה) לפיו בשתי נקודות של מערכת במנוחה, ממוקמים שני שעונים במנוחה, אשר סונכרנו להראות את אותה השעה בדיוק. שעון ראשון נע במהירות אחידה לעבר השעון השני על גבי הקו המחבר בין שני השעונים. בהגיעו לשעון השני השעונים לא יהיו מסונכרנים יותר. במקום השעון הראשון יפגר אחרי השעון השני. מתוצאה זו אינשטיין ניסח את המשפט הבא: אם ישנם שני שעונים, שהם מסונכרנים זה עם זה בנקודה A, ואחד מהם נע לאורך עקומה סגורה במהירות קבועה עד אשר הוא שב ל-A, אז שעון זה בהגיעו ל-A, יפגר אחרי השעון שלא נע.

בהרצאתו מ-1911 “התפתחות החלל והזמן”, לאנג’באן הרחיב תוצאה זאת לצופים אנושיים, והציע את מה שקרוי ה”נוסע של לאנג’באן”. לאנג’באן דמיין נוסע המסתגר בתוך קליע, אותו שולח כדור הארץ במהירות קרובה לזו של האור. “דבר שהוא אפשרי באופן פיזיקאלי”, אמר לאנג’באן, ותוך שנסדר לנוסע מפגש עם כוכב מסוים, ולאחר שהגיע לכוכב כאשר מסע זה לקח שנה מחייו, נשלח אותו חזרה לכדור הארץ באותה המהירות. “בחזרו לכדור הארץ, לאחר שהזדקן בשנתיים בכל המסע, הוא יצא מתקופת הזמן שלו וימצא את כדור הארץ מאתיים שנה מאוחר יותר”. לאנג’באן קבע ש”העובדות הניסוייות שבוססו באופן הבטוח ביותר בפיזיקה מאפשרות לנו לאשר שכך זה יהיה”.

ומדוע “זה יהיה כך”? נראה שלפי תורת היחסות הפרטית, האומרת שכל מערכות הייחוס הן שקולות, צריכה להיות סימטריה מוחלטת בין הנוסע לבין יושבי כדור הארץ. זאת מלבד במהלך שלושת התקופות המאוד קצרות שבהן הנוסע מפעיל את מנועי הקליע שלו. בהתעלמנו מתקופות כה קצרות אלו, בעת שובו של הנוסע עליו לגלות שהוא הזדקן בדיוק באותה המידה כמו יושבי כדור הארץ שחיכו לו מאחור. לפיכך, אמורה להיות הזדקנות סימטרית. לאנג’באן הציע שהתאוצה שהנוסע עובר כדי לשוב לכדור הארץ לא מופיעה אצל הצופה שנותר על כדור הארץ. מכיוון שמערכת הנוסע היא מואצת וזו של כדור הארץ לא מואצת, לכן לפי תורת היחסות הפרטית במערכת הייחוס המואצת חוקי הטבע לא יהיו אינברייאנטים (יוותרו ללא שינוי) כפי שזה עבור כל המערכות הנעות במהירות קבועה (לפי עקרון היחסות). האסימטריה מתבטאת בתאוצה שהנוסע עצמו עבר. באמצע מסעו, עקב התאוצה המשנה את כיוון מהירותו ומחזירה אותו לנקודת היציאה שלו בכדור הארץ בסוף מסעו (גם אם תאוצה זו נמשכת זמן קצר ביותר), הנוסע רואה את כדור הארץ מתרחק ממנו ומתקרב אליו במשך זמנים שווים: מתרחק בשנה אחת ומתקרב גם כן בשנה אחת. זאת בעוד שכדור הארץ רואה את הנוסע מתרחק ממנו במשך מאתיים שנה וחוזר במשך יומיים, במשך זמן שהוא פי ארבעים אלף קצר יותר.

פרדוקס התאומים: שני תאומי אינשטיין. אחד נחת בשנת 2005 הישר לחגיגות מאה שנה לתורת היחסות הפרטית ואחד (בשחור לבן…) נותר על כדור הארץ מאז 1905…

מי מהם יותר צעיר בעת המפגש?… J 

 

הגרסה החדשה לפרדוקס התאומים

מתחילים בתיאור מצב שבו, בדיוק כמו בגרסה הקלאסית לפרדוקס התאומים, אחד מהתאומים מאיץ ואילו האחר לא. אבל בניגוד גמור למה שמתרחש בגרסה הקלאסית, התאום המאיץ הוא מבוגר יותר באיחוד המחודש! הכיצד?

הבה נבחן מרחב-זמן סטטי בעל מטריקה (כלומר נתקדם ליחסות הכללית), ונגיד שהטנסור המטרי הוא לא תלוי בזמן ובאזימוט. נבחן את המטריקה של שוורצשילד, כאשר ישנו גוף במרכז בעל מסה מסוימת. המרחב-זמן של שוורצשילד הוא הסטנדרט המוחלט במנוחה, כאשר העקמומיות היא לא אפס. וזה אומר שאנחנו לא מדברים כאן כבר על מרחב-זמן מינקובסקי שבמסגרתו הרי פרדוקס התאומים המקורי בכלל לרוב מתואר.

נבחן מסלולים מעגליים, כאשר המהירויות המסלוליות נמדדות ביחס לסטנדרט המוחלט של המנוחה. בתנועה גיאודזית כלומר, כאשר התאוצה היא אפס נעים במהירות מסלולית “קפלריאנית”. פירושו של דבר שמקבלים בקירוב את המצב של הפיזיקה הניוטונית.

הבה נדמיין שני תאומים A ו-B שממוקמים במסלול מסוים סביב לגוף בעל המסה כלשהי והם מסתובבים כל אחד מהם במהירויות שונות זה מזה. התאומים יפגשו זה עם זה בצורה מחזורית. החוקרים חישבו את היחס שבין הזמן העצמי של שני התאומים. (המהירויות של התאומים נמדדות על ידי צופים שהם מסתובבים בתנע זוויתי שהוא אפס ביחס לשמים)

נניח שהתאום A מפסיק לנוע. או אז מהירותו היא אפס. התאום B מקיף את הגוף במהירות “קפלריאנית”. לפיכך, תאום A מואץ ואילו תאום B לא מואץ.

הזמן העצמי של תאום B שווה לזמן העצמי של תאום A כפול שורש שתלוי במהירות ה”קפלריאנית”. ולפיכך הזמן העצמי של התאום B הוא קטן מהזמן העצמי של התאום A.

לכן בעת האיחוד בין התאומים, התאום המאיץ ((A מבוגר יותר מאשר התאום אחיו (B) שלא האיץ. זה עומד בניגוד גמור להסברים שנתנו עד כה לפרדוקס התאומים, אבל לא עומד בניגוד לתוצאת פרדוקס התאומים, כי עדין התאום B צעיר יותר.

הכיצד זה יתכן? הזמנים העצמיים של התאומים תלויים רק במהירות הסיבובית של התאומים (המהירות ה”קפלריאנית”), וזאת נמדדת ביחס לסטנדרט המנוחה הגלובאלי.

הבה נבדוק שאכן אין סתירה עם פרדוקס התאומים בניסוחו הרגיל: נשנה פרמטר אחד בבעיה. נניח שרדיוס המסלול לא משתנה וכך גם מהירות המסלול של התאומים סביב הגוף המרכזי. תאום A מסתובב במהירות סיבובית שהיא אפס כמיקודם, ואילו התאום B מקיף את הגוף עדיין במהירות “קפלריאנית”.

אולם, נשנה את המסה של הגוף המרכזי. נניח שהיא תרד עד הגיעה לערך אפס. מכיוון שהמסלול של התאום B תלוי ברדיוס ובמסת הגוף המרכזי, מהירותו לא תהיה יותר “קפלריאנית”. לכן במצב זה התאום B יאיץ בדיוק כמו אחיו A.

אולם, בגלל שהיחס בין הזמנים העצמיים אינו תלוי בתאוצות כלל, אלא תלוי במהירויות בלבד, ורק אלה משתנות, היחס יישאר ללא שינוי ויוותר קבוע.

לכן התאום הנע B תמיד יישאר צעיר יותר מאחיו הלא נע A.

החוקרים מציינים שזה נכון כאשר מסת הגוף שאפה לאפס, כלומר כאשר הגענו למרחב-זמן מינקובסקי. בגבול זה אנחנו הרי מגיעים שוב לפרדוקס התאומים הקלאסי: תאום A לא מואץ ותאום B מואץ והוא הצעיר בעת האיחוד. ומדוע הוא הצעיר יותר?

כאשר המסה של הגוף המרכזי לא שווה לאפס הסיבה היא מהירותו הגבוהה יותר באופן בלתי תלוי בתאוצתו. ורק כאשר המסה שווה לאפס מרחב-זמן מינקובסקי ההסבר משתנה לתאוצה שהיא לא אפס.

מדוע זה כך? המסה גורמת לעקמומיות שהיא לא אפס של המרחב-זמן, ועקמומיות מעניקה למרחב-זמן מבנה שמגדיר את הסטנדרט המוחלט במנוחה. העניין הוא שבמרחב-זמן מינקובסקי אין מבנים כאלה ואין כל דרך להבחין מי מבין התאומים נע מהר יותר בדרך מוחלטת.

ראוי לציין שבמהלך ההיסטוריה מאז נוסח פרדוקס התאומים על ידי לאנג’באן ב-1911 נתנו גרסאות רבות לפרדוקס התאומים בדרכים שונות ומשונות. גרסה אחרונה זו מהחודש שעבר היא אינה הראשונה שמסבירה את ההפרש במהירות בין התאומים. השורה התחתונה היא הבאה: התוצאה המסורתית של פרדוקס התאומים בתורת היחסות הפרטית, לפיה בעת האיחוד מחדש בין התאומים, מתגלה שהתאום שביצע את המסע שב צעיר יותר מאחיו שנותר על כדור הארץ לא הופרכה. תוצאה זו קבלה חיזוק כאן מגרסה נוספת ומעניינת לפרדוקס התאומים.

 קראו הסבר כאן

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s