רוצים לצפות בממד הרביעי?

ראיתם פעם איך נראה הממד הרביעי?

מה דעתכם לצפות בממד הרביעי? למשל בקוביה ארבע ממדית, בטסרקט?

או לקרוא בבלוג של רודי ראקר: סופר המדע פופולארי שעוסק בממד הרביעי?

ולקרוא בדרך על פתרון השערת פואנקרה: מהי השערת פואנקרה? שאותה פתר פרלמן

Image:Henri Poincare.jpg

הנרי פואנקרה

אלברט אינשטיין עומד מימין והנרי פואנקרה ומרי קירי יושבים – קונגרס סולבאיי הראשון, 1911.

השערת פואנקרה: כאן

מתמטיקאי צרפתי נוסף עתה ממשיך את המסורת של פואנקרה הדגול, והוא יצר סרטי וידאו של עצמים בארבע ממדים (מה היה אומר על כך הנרי פואנקרה?):

ראו האתר הבא

שלושה ממדים יכולים להיות כל כך מגבילים. המתמטיקאים שמשחררים את עצמם בדמיונם מהמגבלות הפיזיקאליות יכולים לדמיין תיאורים של עצמים בממדים הרבה מעבר לשלושה ממדים. נקודות במישור יכולות להיות מתוארות באמצעות זוגות של מספרים, ונקודות במרחב יכולות להיות מתוארות באמצעות שלשות של מספרים ומדוע לא באמצעות קבוצות של ארבע או חמש ויותר מספרים?

אבל מערכת העצבים שלנו מתקשה לתפוש דמויות שהן בממדים מעבר לשלושה ממדים. אבל זה לא עצר מאטיאן גייס –  Étienne Ghys  – מהאקול נורמל סופרייר בליון אשר בצרפת מלהראות באופן חזותי – ויזואלי – מערכות דינמיות בארבע ממדים שאותן הוא חוקר. הוא אומר, “אני חי בממד הרביעי”.

ואין סיבה שאתם גם לא תחיו יחד איתו בממד הרביעי.

גייס יצר סדרה של סרטי וידאו. ראו האתר שלו למעלה.

הסרטים מלמדים אחרים לדמיין ולראות ארבע ממדים בדרך שהוא רואה אותם. עבודתו נעשתה בשיתוף פעולה עם Jos Leys – אמן גראפי ומהנדס בלגי ועם Aurélien Alvarez סטודנט בוגר מתמטיקה באקול נורמל סופרייר בליון.

איך מדמיינים עצם בארבע ממדים? גייס התחיל לפתור את הבעיה למעשה מאותה נקודה של הספר “שטוחלנדיה” (Flatland). האתגר שלנו לדמיין כיצד ארבע ממדים יראו לנו הוא מאוד דומה לשאלה שאותה ישאל יצור שטוח לחלוטין שחי בעולם דו-ממדי שטוח לחלוטין והוא מנסה לדמיין שלושה ממדים. וזאת בדיוק כמו היצורים שמאכלסים את העולם של אדווין אבוט, “שטוחלנדיה”. הם כמעט ולא יוכלו לדמיין קוביה או כדור. עבור היצורים הדו-ממדיים זה כמעט בלתי אפשרי כי הם לא מסוגלים להתרומם מתוך המישור שלהם.

Image:Flatland cover.jpg

עדיין, הם יכולים לנסות…

אנחנו משרטטים עצמים תלת-ממדיים על הנייר כל הזמן, באופן עקרוני על ידי זה שאנחנו משרטטים את הקווים שמקיפים אותם. היצורים הדו-ממדיים יכולים לפתח שיטה כלשהי או איזה שהוא חוש לתלת-ממד על ידי זה שהם יבחנו את הציורים האלה. ריבוי של ציורים מפרספקטיבות שונות עשויים להיות במיוחד יעילים ומסייעים. שיטה מספר 1.

access

NOT SO EASY Can you guess the three-dimensional shape by watching its two-dimensional slices?

Leys, Ghys and Alvarez

מפה

ניתן גם לנקוט בגישה נוספת. שיטה מספר 2. נניח שעצם תלת ממדי נע וחוצה את המישור של היצורים הדו-ממדיים. כיצד הם ידעו על כך? הם יכולים להתבונן על הצורה שאותה הוא יוצר בעודו נע, וכך הם יכולים לנסות לחבר את הצורות האלה יחד אל תוך תחושה של שלם. אבל שיטה זו היא מאוד מסובכת. אפילו עבורנו, שאנו מסוגלים להבחין בעצם תלת-ממדי ואנחנו בעלי חוויה וניסיון לגבי עצמים תלת-ממדדים, זה יכול להיות קשה מאוד לנחש את הצורה התלת ממדית מחתכי הרוחב הדו-ממדיים של עצם.

MATH TREK: SEEING 4-D: A team of mathematicians has created videos that attempt to visualize how we can perceive four-dimensional shapes in our three-dimensional space. Click on image to access story.

Credit: Leys, Ghys and Alvarez  SHAPE SHADOW

    לכן יוצרי הסרטים מציעים ליצורים הדו-ממדיים שיטה שלישית שקרויה “היטל סטריאוגראפי”. שיטה מספר 3. שיטה זו היא פחות אינטואיטיבית אבל הרבה יותר עוזרת. ניקח עצם תלת ממדי, נגיד טטרהדרון (גוף שכל ארבע פיאותיו הן משולשים):

    טטרהדרון נניח שננפח אותו ונמלא אותו באוויר עד אשר הוא יהפוך כמעט לכדור מושלם, כאשר הקווים על פני הכדור יהיו הגבולות של הטטרהדרון לשעבר. עתה נשים את העצם הזה על שולחן, כאשר הוא שקוף – כמו מין כדור מים שמשחקים איתו בים. נמקם נורה בקוטב הצפוני שלו. האור יקרין תבניות בצורת הטטרהדרון על פני משטח השולחן. היצור הדו-ממדי מ”שטוחלנדיה” של אבוט יכול ללמוד אודות הטטרהדרון על ידי זה שהוא ילמד את התבניות האלה. אם הכדור-טטרהדרון יתגלגל לו על פני השולחן, היצור הדו-ממדי יכול לראות את ההיטל מזויות שונות.

    שיטה זו, מסתבר, היא הרבה יותר פשוטה. כאשר יש היטל של קווי המתאר של הטטרהדרון על פני משטח הכדור הם נשמרים בקירוב זהים. כך ניתן להבחין במשולשים שלו כצורות בעלות שלוש צלעות על המישור (למרות שהם נהפכו עתה למעקומים למדי). זה הופך זאת להרבה יותר קל לדמיין את העצם התלת ממדי מהדמות הדו-ממדית שלו.

    הוידאו של הכדור-טטרהדרון

    access

    24-CELLVIDEO (Flash Required) This four-dimensional object has no analogue in three dimensions. It’s shown here in a stereographic projection, including the two-dimensional surfaces.Leys, Ghys and Alvarez

    מפה

    בעזרת טכניקה זו ובעזרת מחשב, גייס ניסה להעביר צורות ארבע-ממדיות דרך מרחב תלת-ממדי ולהביט ב”חיתוכים” התלת-ממדיים שלהן שנוצרים כתוצאה. אין זה קל להרכיב תמונה של הצורה בממד גבוה יותר בצורה זו מהחיתוכים שנוצרים בתלת ממד. גייס ניסה לצייר את “הצללים” בתלת ממד של העצמים הארבע-ממדיים. הוא סובב את העצמים סביב כדי לראות האם צדדים שונים שלהם יכולים לתת תחושה טובה של צורתם.

    הוידאו – כדור טטרהדרון

    access

    TETRAHEDRON, PROJECTEDVIDEO (Flash Required) A flat lizard could learn about the shape of a tetrahedron by looking at the shapes the tetrahedron makes when “stereographically projected” onto a plane.Leys, Ghys and Alvarez

    מפה

    לבסוף גייס השתמש בהיטל סטריאוגראפי. הרעיון הוא זהה להיטל שמבוצע מתלת לדו: מנפחים את הצורה הארבע-ממדית לכדור, ואז ממקמים אור ב”קוטב הצפוני” מבצעים היטל של הדמות לתלת-ממד. תהליך זה הוא בלתי אפשרי בגדר הדמיון שלנו, בדיוק כמו שיצור דו-ממדי לא יוכל לדמיין תהליך היטל של כדור תלת-ממדי. התוצאות, למרות זאת, הן לכאורה הגיוניות וצריך להתאמן, אומר גייס.

    אם כן, הדקו את החגורות והכונו לנסיעה לעולם וירטואלי של סרטי וידאו שבו הנוף הוא נוף של הממד הרביעי…

     

     

     

     

    Advertisements

    0 thoughts on “רוצים לצפות בממד הרביעי?

    1. הנסיון לתפוש את צורת הטסרקט ב-4 מימדים עושה לי כאב ראש!
      (אבל מעניין)

    Leave a Reply

    Fill in your details below or click an icon to log in:

    WordPress.com Logo

    You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

    Twitter picture

    You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

    Facebook photo

    You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

    Google+ photo

    You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

    Connecting to %s